【分析】
要证明BC=2BD，首先考虑将BC拆分为两段相等的线段，结合已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作AE⊥BC，即可得到BC=2BE，此时只需证明BD=BE即可。结合已知条件：∠D和∠AEB都是直角，∠ABD=∠C，再结合等腰三角形等边对等角得∠ABC=∠C，可推出∠ABD=∠ABE，加上公共边AB，即可证明△ABD和△ABE全等，得到BD=BE，最终推导得出结论。
【解析】
证明：如答图，过点A作AE⊥BC于点E。
∵AB=AC，
∴BE=CE，∠ABC=∠C，∠AEB=∠D=90°。
∵∠ABD=∠C，
∴∠ABD=∠ABE。
又
∵AB=AB，
∴△ABD≌△ABE（AAS），
∴BD=BE。
∵BC=2BE，
∴BC=2BD。
【答案】
证明:如答图,过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB=AC,
∴BE=CE,∠ABC=∠C,∠AEB=∠D=90°.
∵∠ABD=∠C,
∴∠ABD=∠ABE.
又
∵AB=AB,
∴△ABD≌△ABE(AAS),
∴BD=BE.
∵BC=2BE,
∴BC=2BD.

【知识点】
1.等腰三角形的性质 2.全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的线段倍分关系证明题，通过作等腰三角形底边上的高构造全等三角形，将倍分关系转化为相等线段的证明，是几何证明中常用的转化思路。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要证AM=2CD，已知AB=AC且AD是BC边上的高，由等腰三角形三线合一可得BC=2CD，因此只需证明AM=BC即可。结合∠BAC=45°、BE⊥AC的条件，可得△ABE是等腰直角三角形即AE=BE；再通过同角的余角相等推出∠EAM=∠EBC，即可证明△AEM≌△BEC得到AM=BC，进而推导得证。
(2) 已知AD是角平分线且BE⊥AD，可延长BE、AC交于点F构造等腰△ABF，由等腰三角形三线合一得BE=$\frac{1}{2}$BF，因此只需证明BF=AD即可。结合AC=BC、∠C=90°的条件推导角相等，证明△ADC≌△BFC得到BF=AD，即可求出BE的长度。
【解析】
(1) 证明：在△ABC中，∠BAC=45°，BE⊥AC，
∴AE=BE。
∵AD⊥BC，
∴∠EAM=90°-∠C=∠EBC。
在△AEM和△BEC中，$\begin{cases} ∠EAM=∠EBC,\\ AE=BE,\\ ∠AEM=∠BEC, \end{cases}$
∴△AEM≌△BEC(ASA)，
∴AM=BC。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BC=2CD，
∴AM=2CD。
(2) 解：如答图，延长BE，AC交于点F。

∵BE⊥EA，
∴∠AEF=∠AEB=90°。
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠FAE=∠BAE，
∴∠F=∠ABE，
∴AF=AB。
∵BE⊥EA，
∴BE=EF=$\frac{1}{2}$BF。
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，
∴∠AFE=(180°-45°)÷2=67.5°，∠FAE=45°÷2=22.5°，
∴∠CDA=67.5°。
在△ADC和△BFC中，$\begin{cases} ∠ADC=∠F,\\ ∠ACD=∠BCF,\\ AC=BC, \end{cases}$
∴△ADC≌△BFC(AAS)，
∴BF=AD，
∴BE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}×3=1.5$。
【答案】
(1) 证明成立，AM=2CD；
(2) $BE=1.5$（或$\frac{3}{2}$）

【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的典型几何题，解题核心是利用已知的垂直、等边、等角条件，要么直接找全等三角形实现线段等量转化，要么通过构造辅助线得到等腰三角形，转化线段的倍分关系，涉及的辅助线作法是几何证明的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6