【分析】
要证明DE=DF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先已知△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，连接AD即可得到∠DAE=∠DAF；再结合已知条件AE=AF、公共边AD，可利用SAS判定△ADE和△ADF全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：如答图，连接AD。
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，即∠DAE=∠DAF。
在△ADE和△ADF中：
$\begin{cases} AE=AF \\ ∠ DAE=∠ DAF \\ AD=AD \end{cases}$
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF。
【答案】
证明:如答图,连接AD.
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠DAE=∠DAF.
又
∵AE=AF,AD=AD,
∴△ADE≌△ADF(SAS),
∴DE=DF.

【知识点】
等腰三角形三线合一，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是根据等腰三角形的特征合理构造辅助线，结合全等三角形的判定和性质推导结论，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 要证明PE=PF，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先结合已知AB=AC、D是BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD是∠BAC的角平分线，P在AD上，且PE、PF分别垂直AB、AC，满足角平分线性质的条件，即可推出PE=PF。
(2) 要证明PD平分∠BPC，可先证△PBC为等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质推导。首先由AB=AC、D是BC中点，根据等腰三角形三线合一可得AD垂直平分BC，因此AD上的点P到B、C的距离相等，即PB=PC，△PBC为等腰三角形，PD是底边上的高，因此PD平分顶角∠BPC。
【解析】
(1)
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC。
又
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE=PF。
(2)
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∵P在AD上，
∴PB=PC，
∴PD平分∠BPC。
【答案】
(1) 证明成立，PE=PF；
(2) 证明成立，PD平分∠BPC。
（证明过程同上述解析）
【知识点】
等腰三角形三线合一，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查等腰三角形三线合一的应用，同时融合了角平分线、线段垂直平分线的性质，解题时需结合已知条件准确选取对应的性质定理，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
对于(1)要证明AC⊥DE，我们可以借助等腰三角形“三线合一”的性质推导：首先利用等边△ABC的性质，结合AD是BC边上的中线，可得AD平分∠BAC，求出∠DAC=30°；再结合等边△ADE的角度特征，可推出AC平分∠DAE，结合AD=AE，利用三线合一即可证明垂直。对于(2)要证明CD=CE，只需证明点C在DE的垂直平分线上，由(1)的结论可知AC垂直平分DE，根据线段垂直平分线的性质即可得证。
【解析】
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC。
∵AD是BC边上的中线，
∴AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD=30°。
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠EAC=60°-30°=30°=∠DAC，
根据等腰三角形三线合一，可得AC⊥DE。
(2)
∵AD=AE，AC⊥DE，
∴AC垂直平分DE，
∵点C在DE的垂直平分线AC上，
∴CD=CE。
【答案】
(1)
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,AB=AC.
∵AD是BC边上的中线,
∴AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠BAD=30°.
∵△ADE是等边三角形,
∴∠DAE=60°,AD=AE,
∴∠EAC=30°=∠DAC,
∴AC⊥DE.
(2)
∵AD=AE,AC⊥DE,
∴AC垂直平分DE,
∴CD=CE.
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形三线合一；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查特殊三角形的性质应用，解题的关键是结合已知条件找准角度关系，利用“三线合一”推导垂直和线段平分关系，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7