【分析】
首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形有两条边长相等。题目给出的两边长5和6没有明确哪条是腰、哪条是底，因此需要分两种情况讨论；其次要结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），对每种情况的三条边长进行验证，确认能构成三角形后再计算周长，避免得到不符合实际的结果。
【解析】
已知等腰三角形的两边长为5和6，未指明腰长和底边长，分两类讨论：
① 当腰长为5时，三角形三边长为5、5、6
∵ 5+5＞6，满足三角形三边关系，可构成三角形
此时周长为：$5+5+6=16$
② 当腰长为6时，三角形三边长为6、6、5
∵ 6+5＞6，满足三角形三边关系，可构成三角形
此时周长为：$6+6+5=17$
综上，该等腰三角形的周长为16或17。
【答案】
16或17
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长问题的基础典型题，易错点是未对腰和底分类讨论，或是忽略验证三边是否满足三角形构成条件，导致漏解或错解，做题时要养成分类后验证结果合理性的习惯。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决本题需要结合等腰三角形边的性质分类讨论，首先明确等腰三角形的边分为腰和底，本题未说明AB是腰还是底，因此需分情况讨论AB的身份，同时每类计算出边长后必须用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，排除不符合的情况。
【解析】
解：已知等腰△ABC周长为7cm，AB=3cm，分三类讨论：
1. 若AB和BC均为腰：
则BC=AB=3cm，此时底边长AC=7-3-3=1cm，三边长为3cm、3cm、1cm，满足3+1＞3，符合三角形三边关系，成立；
2. 若AB为腰，BC为底：
则另一腰AC=AB=3cm，BC=7-3-3=1cm，三边长为3cm、3cm、1cm，满足三边关系，成立；
3. 若AB为底：
则BC和AC为腰，BC=(7-3)÷2=2cm，三边长为3cm、2cm、2cm，满足2+2＞3，符合三边关系，成立。
综上，BC的长为1cm或2cm或3cm。
【答案】
1 cm或2 cm或3 cm
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长问题的典型题型，解题的关键是树立分类讨论的意识，明确边长的身份可能为腰也可能为底，同时要注意验证三边关系，避免出现无法构成三角形的错误，防止漏解或错解。
【难度系数】
0.6

【分析】
等腰三角形的内角分为顶角和底角，题目仅给出一个内角为70°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分类讨论，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分别计算顶角，最后验证结果是否符合三角形内角要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若已知的70°内角为顶角，此时等腰三角形的顶角度数即为70°；
2. 若已知的70°内角为底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为70°，结合三角形内角和为180°，可得顶角的度数为：$180° - 70° × 2 = 40°$。
两种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$70°$或$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，核心考查分类讨论的思维，易错点是忽略已知角的两种可能性，漏算其中一种结果，解题时需注意对未明确类型的内角分类讨论，且最终结果要符合三角形内角的取值要求。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先要明确：题目未说明100°的外角是顶角的外角还是底角的外角，因此需要分两种情况分类讨论。第一步先根据外角与相邻内角互补，求出对应内角的度数为80°；第二步分别假设这个80°的角是顶角或底角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算顶角度数；最后验证两种情况均符合三角形内角和要求即可。
【解析】
解：
∵等腰三角形的一个外角为100°，
∴与该外角相邻的内角度数为$180°-100°=80°$，分两种情况讨论：
① 若$80°$是等腰三角形的顶角，则顶角度数就是$80°$；
② 若$80°$是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，
此时顶角度数为$180°-80°×2=20°$。
两种情况均符合三角形内角和定理，因此顶角度数为20°或80°。
【答案】
20°或80°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题核心考查等腰三角形性质的应用，解题的关键点是遇到未明确角的类型的问题时要主动分类讨论，同时要注意验证结果是否符合三角形的基本性质，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题是等腰三角形角度计算问题，需结合等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为180°求解。由于题干未明确“一个角是另一个角的2倍”中两个角分别是顶角还是底角，因此需要分两种情况分类讨论：①底角是顶角的2倍；②顶角是底角的2倍，分别计算后验证结果是否符合三角形内角的要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：若等腰三角形的底角是顶角的2倍，设顶角的度数为$x$，则底角的度数为$2x$。
根据三角形内角和为180°，可得：
$x + 2x + 2x = 180°$
解得$x=36°$，此时底角为$2x=72°$，符合三角形内角要求。
情况2：若等腰三角形的顶角是底角的2倍，设底角的度数为$x$，则顶角的度数为$2x$。
根据三角形内角和为180°，可得：
$x + x + 2x = 180°$
解得$x=45°$，此时底角为$45°$，符合三角形内角要求。
综上，该等腰三角形底角的度数为45°或72°。
【答案】
$45°$或$72°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于等腰三角形角度计算的典型题，易错点是忽略分类讨论，只考虑其中一种情况导致漏解，解题时需要明确等腰三角形的顶角和底角的关系，计算后要验证结果是否满足三角形内角的取值要求。
【难度系数】
0.6

【分析】
等腰三角形的核心性质是两底角相等，本题未明确说明∠A是顶角还是底角，也未明确∠B的类型，因此需要对两个角的身份分情况讨论，每次计算后要验证结果是否符合三角形内角和为180°的要求，避免漏解或错解。
【解析】
已知△ABC为等腰三角形，∠A=40°，分三种情况讨论：
1. 当∠A为顶角时，∠B和∠C是相等的底角：
$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-40°)÷2=70°$
2. 当∠A为底角，∠B也为底角时，根据等腰三角形两底角相等：
$∠ B=∠ A=40°$
3. 当∠A为底角，∠B为顶角时，另一底角$∠ C=∠ A=40°$：
$∠ B=180°-2×∠ A=180°-2×40°=100°$
三种情况均满足三角形内角和定理，全部成立。
【答案】
$70°$或$40°$或$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的经典易错题，解题关键是当题目未指定等腰三角形的顶角、底角时，要全面考虑所有可能的角的身份组合，避免遗漏符合条件的解。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题未明确等腰三角形的类型，腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需分两种情况讨论。首先根据高与腰的夹角求出对应顶角的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
已知高与另一腰的夹角为48°，在高、腰构成的直角三角形中，两锐角互余，可得顶角为$90° - 48° = 42°$。
等腰三角形两底角相等，因此底角为$\frac{180° - 42°}{2} = 69°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
此时高落在腰的延长线上，在高、腰的延长线构成的直角三角形中，可得顶角的邻补角为$90° - 48° = 42°$，因此顶角为$180° - 42° = 138°$。
同理可得底角为$\frac{180° - 138°}{2} = 21°$。
综上，底角的度数为69°或21°。
【答案】
$69°$或$21°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形为钝角三角形的情况，导致漏解。解题时遇到未明确形状的等腰三角形问题，要注意结合高的位置分情况讨论，避免思维定势默认三角形为锐角三角形。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先可以通过画图明确等腰三角形各边、高的位置关系：等腰三角形一腰上的高与底边可构成直角三角形，已知高和底边的夹角，可先利用直角三角形两锐角互余求出等腰三角形的底角度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，就能算出顶角度数。注意本题中夹角是与底边的夹角，无需额外分类讨论三角形形状。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，$BD$是腰$AC$上的高，因此$BD⊥ AC$，$∠ BDC=90°$。
已知高与底边的夹角$∠ DBC=35°$，在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，根据直角三角形两锐角互余，可得底角$∠ C=90°-∠ DBC=90°-35°=55°$。
因为$△ ABC$是等腰三角形，$AB=AC$，所以两底角相等，即$∠ ABC=∠ C=55°$。
根据三角形内角和为$180°$，顶角$∠ A=180°-∠ ABC-∠ C=180°-55°×2=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形角度计算的基础题，解题的关键是通过画图梳理各角的位置关系，结合直角三角形和等腰三角形的性质逐步推导即可，注意区分“高与底边的夹角”和“高与腰的夹角”，后者通常需要分类讨论，前者无需额外分类。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题需结合等腰三角形性质和线段垂直平分线的特点分类讨论求解：①首先明确AB的垂直平分线是与AC所在直线相交，交点可能在线段AC上，也可能在线段CA的延长线上，因此分两种情况讨论；②每种情况先利用直角三角形两锐角互余求出顶角∠BAC的度数；③再根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角∠C的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：当AB的垂直平分线与线段AC相交时
设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，由题意得∠ADE=50°，∠AED=90°
在Rt△AED中，∠A=90°-∠ADE=90°-50°=40°
∵AB=AC，
∴∠B=∠C
又
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠C=(180°-40°)÷2=70°
情况2：当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时
设AB的垂直平分线交AB于点E，交CA的延长线于点D，由题意得∠ADE=50°，∠AED=90°
在Rt△AED中，∠DAE=90°-∠ADE=90°-50°=40°
∴顶角∠BAC=180°-∠DAE=180°-40°=140°
∵AB=AC，
∴∠B=∠C
又
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠C=(180°-140°)÷2=20°
综上，∠C的度数为20°或70°
【答案】
20°或70°
【知识点】
等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略“AC所在直线”的范围限制，仅考虑交点在线段AC上的情况导致漏解，解题时遇到与直线相交的描述时，要注意全面分析交点的所有可能位置，运用分类讨论思想避免漏解。
【难度系数】
0.6

【分析】
解决本题需要运用分类讨论思想，按点P的位置分情况排查：首先，要使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，优先考虑到三个顶点距离相等的点，即等边三角形的中心，这是内部的1个符合条件的点；其次，等边三角形每条边的垂直平分线上的点天然满足到这条边两个端点距离相等，可保证以该边为底的三角形是等腰三角形，再依次在每条边的垂直平分线上找另外两个三角形也为等腰三角形的点即可，注意排除和三角形顶点重合的点。
【解析】
符合条件的点P可分为两类：
1. 内部点：若点P到△ABC三个顶点的距离相等，即$PA=PB=PC$，此时△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，该点是等边△ABC的中心（重心、外心、内心、垂心重合），共1个。
2. 外部点：对△ABC的每条边作垂直平分线，垂直平分线上的点到这条边的两个端点距离相等，天然满足以这条边为底的三角形是等腰三角形。以边BC的垂直平分线为例：
（1）以顶点A为圆心、边长AB为半径画弧，与BC的垂直平分线交于2个点，其中1个与点A重合（不能构成三角形，舍去），剩余1个符合要求；
（2）分别以顶点B、C为圆心、边长AB为半径画弧，与BC的垂直平分线交于2个不重合的点，均符合要求。
因此每条边的垂直平分线上共有3个外部符合条件的点，3条边共$3×3=9$个外部点。
两类合计共有$1+9=10$个符合条件的点P。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形判定，等边三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的经典分类讨论题，解题时要按照位置分情况讨论，注意不要漏算内部的中心点和各边垂直平分线上的外部点，避免因考虑不全面导致漏解。
【难度系数】
0.4

【分析】
本题未明确△ABC的直角顶点，因此需分类讨论直角的两种情况：①∠ACB为直角；②∠ABC为直角。两种情况均结合已知∠MAN=60°，利用含30°角的直角三角形的性质计算AC的长度，再结合动点速度即可求出运动时间t。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$∠ ACB=90°$时，$△ ABC$为直角三角形，
此时$∠ ABC=180° - 90° - 60°=30°$，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$AC=\frac{1}{2}AB$，
已知$AB=2$，因此$AC=\frac{1}{2}×2=1$，
动点C的速度为1单位/秒，故运动时间$t=1÷1=1$秒。
2. 当$∠ ABC=90°$时，$△ ABC$为直角三角形，
此时$∠ ACB=180° - 90° - 60°=30°$，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$AB=\frac{1}{2}AC$，
因此$AC=2AB=2×2=4$，
故运动时间$t=4÷1=4$秒。
综上，运动时间t为1或4秒。
【答案】
1或4
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查直角三角形性质的应用，解题的关键是明确直角三角形未指定直角顶点时要分情况讨论，避免出现漏解的错误，同时要熟练掌握特殊直角三角形的边长关系。
【难度系数】
0.6