【分析】
首先回忆直角三角形斜边上的中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此可知斜边上的中线将原直角三角形分成两个等腰三角形。题目给出中线与斜边的夹角为50°，该角是其中一个等腰三角形的顶角，可先根据等腰三角形两底角相等求出该等腰三角形的底角，也就是原直角三角形的一个锐角，再结合直角三角形两锐角互余求出另一个锐角，比较两个锐角的大小即可得到较小内角的度数。
【解析】
设直角三角形为$\mathrm{Rt}△ ABC$，$∠ ACB=90°$，$CD$是斜边$AB$上的中线。
根据直角三角形斜边上的中线性质，得：$CD = AD = BD = \frac{1}{2}AB$，因此$△ CDB$和$△ CDA$都是等腰三角形。
已知斜边上的中线与斜边所成的锐角为$50°$，即$∠ CDB=50°$。
在等腰$△ CDB$中，$CD=BD$，根据等腰三角形内角和性质，底角$∠ B = (180° - ∠ CDB)÷2 = (180° - 50°)÷2 = 65°$。
因为$\mathrm{Rt}△ ABC$中两锐角互余，所以另一个锐角$∠ A = 90° - ∠ B = 90° - 65° = 25°$。
比较两个锐角：$25° ＜ 65°$，因此这个直角三角形的较小内角为$25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
直角三角形斜边上的中线性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题关键是明确斜边上的中线将直角三角形拆分为两个等腰三角形，结合角度计算规则即可求解，需要熟练掌握相关几何性质的转化应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先根据已知的两个直角和E是BD中点的条件，联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可先得出AE、CE的长度均为BD的一半；接下来要计算△ACE的面积，还需确定该三角形的内角大小，结合等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和定理，推导∠AEC的度数，发现其为直角后，即可用三角形面积公式求解。
【解析】
解：
∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，E为BD的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得$AE=\frac{1}{2}BD=2$，且$AE=DE$，
∴$∠EAD=∠EDA$。
同理，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，E为BD的中点，
∴$CE=\frac{1}{2}BD=2$，且$CE=DE$，
∴$∠ECD=∠EDC$。
根据三角形内角和定理：
$∠AED=180°-2∠EDA$，$∠CED=180°-2∠EDC$，
∴$∠AEC=∠CED - ∠AED=(180°-2∠EDC)-(180°-2∠EDA)=2(∠EDA-∠EDC)$，
∵$∠EDA-∠EDC=∠ADC=45°$，
∴$∠AEC=2×45°=90°$，即△ACE是等腰直角三角形。
∴$S_{△ACE}=\frac{1}{2}×AE×CE=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】
2
【知识点】
直角三角形斜边上的中线性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的突破口是利用直角三角形斜边上中线的性质得到相等线段，再通过角度推导确定三角形形状，是几何部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.6

【分析】
要证明DG⊥CE，已知G是CE的中点，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此只需证明△CDE为等腰三角形，即DE=CD即可。首先AD是BC边上的高，可得△ABD是直角三角形，CE是AB边上的中线，因此E是AB中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可推出DE=½AB，再结合已知条件AB=2CD，即可得到DE=CD，最后利用等腰三角形三线合一的性质即可完成证明。
【解析】
证明：如答图，连接DE。
∵AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，
∴AD⊥BD，E是边AB的中点，
∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，即$DE=\frac{1}{2}AB$。
∵$AB=2CD$，
∴$CD=\frac{1}{2}AB$，
∴$CD=DE$，即△CDE是等腰三角形。
又
∵G是CE的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，$DG⊥CE$。
【答案】
9.证明:如答图,连接DE.
$\because AD$是边BC上的高,CE是边AB上的中线，
$\therefore AD⊥BD,E$是边AB的中点,$\therefore DE=\frac{1}{2}AB.$
$\because AB=2CD,\therefore CD=\frac{1}{2}AB,\therefore CD=DE.$
$\because G$是CE的中点,$\therefore DG⊥CE.$

【知识点】
直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形三线合一，三角形中线的定义
【点评】
本题是几何证明的常考题型，解题的关键是合理构造辅助线DE，将已知的线段数量关系和待证的垂直关系关联起来，能有效考查学生对三角形相关性质的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要证明MN⊥DE，已知N是DE的中点，若能证明△MDE是等腰三角形，结合等腰三角形“三线合一”的性质即可得证。观察图形可知BD⊥AC、CE⊥AB，△BDC和△BEC均为直角三角形，且M是斜边BC的中点，因此连接EM、DM，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证EM=DM，得到△MDE为等腰三角形，再结合N是DE中点即可完成证明。
(2) 由MN=1/2DE，结合N是DE中点可得MN=EN=ND，再结合(1)中MN⊥DE的结论，可推出△EMD是等腰直角三角形，即∠EMD=90°。再利用直角三角形斜边上中线的性质可得MB=ME、MC=MD，结合等腰三角形等边对等角和三角形内角和、外角性质，即可推导出∠ECB与∠DBC的和。
【解析】
(1) 证明：如答图，连接EM，DM。
$\because BD⊥AC,CE⊥AB,\therefore ∠BDC=∠BEC=90°$，即△BDC和△BEC都是直角三角形。
$\because M$是BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
$\therefore DM=\frac{1}{2}BC,EM=\frac{1}{2}BC,$
$\therefore DM=EM$(等量代换)，即△EMD是等腰三角形。
$\because N$是DE的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore MN⊥DE.$
(2) 解：$\because N$是DE的中点，$\therefore EN=ND=\frac{1}{2}DE$，
$\because MN=\frac{1}{2}DE$，$\therefore EN=ND=MN$，
由(1)知$MN⊥DE$，$\therefore △EMN$和$△DMN$都是等腰直角三角形，
$\therefore ∠EMN=∠DMN=45°$，即$∠EMD=90°$。
$\because ME=MB$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
$\therefore ∠MEB=∠MBE$，
$\therefore ∠EMB=180°-2∠MBE$，
在$Rt△BEC$中，$∠MBE+∠ECB=90°$，即$∠MBE=90°-∠ECB$，
代入得$∠EMB=180°-2(90°-∠ECB)=2∠ECB$，
同理可得$∠DMC=2∠DBC$。
$\because ∠EMB+∠EMD+∠DMC=180°$，$∠EMD=90°$，
$\therefore 2∠ECB + 90° + 2∠DBC = 180°$，
整理得$2(∠ECB+∠DBC)=90°$，
$\therefore ∠ECB+∠DBC=45°$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boxed{45}$

【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质，三角形内角和与外角性质
【点评】
本题是直角三角形与等腰三角形性质的综合应用题，解题关键是正确作出辅助线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半构造等腰三角形，再结合等腰三角形的性质推导线段与角度的关系。
【难度系数】
0.6