1.如图，公路AC，BC互相垂直，M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C，M两点间的距离，若测得AB的长为6 km，则M，C两点间的距离为 （
D
）
A.2.5 km
B.4.5 km
C.5 km
D.3 km
答案：1.D
解析：
【分析】
首先根据题意可知AC与BC互相垂直，可判断△ACB为直角三角形，M是斜边AB的中点，要求CM的长度，可直接运用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，代入AB的长度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。
又
∵M为AB的中点，
∴CM是Rt△ABC斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$CM=\frac{1}{2}AB$。
已知AB=6km，代入得$CM=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{km}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形斜边上中线性质的直接应用，熟记对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.(2025·淮安期中)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,CD是斜边AB上的中线,若$∠ A=20°$,则$∠ ACD$的度数为 (
B
)
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案：2.B
解析：
【分析】
解题时先明确题干给出的条件：Rt△ABC中∠C为直角，CD是斜边AB的中线，已知∠A=20°求∠ACD的度数。首先回忆直角三角形斜边上中线的性质，得到CD与AD的数量关系，再结合等腰三角形等边对等角的性质即可推导出∠ACD与∠A的关系，进而求出角度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线
∴ 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$CD=AD=\frac{1}{2}AB$
∴ △ADC为等腰三角形
∴ ∠ACD=∠A（等边对等角）
∵ ∠A=20°
∴ ∠ACD=20°
故选：B
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等边对等角
【点评】
本题属于基础题，核心考查直角三角形斜边上中线的性质应用，结合等腰三角形的性质求解角度，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 直角三角形斜边上的高与中线分别为5 cm和6 cm，则它的面积为
30
cm²。
答案：3.30
解析：
【分析】
解题时首先回忆直角三角形的核心性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。我们已知斜边上的中线长度，可先求出斜边的总长度；要求三角形面积时，已知斜边上的高，直接把斜边当作底，代入三角形面积公式即可算出最终结果。
【解析】
解：
∵直角三角形斜边上的中线长为6cm，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，
∴该直角三角形的斜边长为 $2×6=12\,\mathrm{cm}$。
又已知斜边上的高为5cm，根据三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$，
∴该三角形的面积 $S=\frac{1}{2}×12×5=30\,\mathrm{cm}^2$。
【答案】
30
【知识点】
直角三角形斜边上的中线性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是熟记直角三角形斜边上中线和斜边的数量关系，求出斜边长度后结合已知的高即可快速计算面积，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
4.若直角三角形斜边上的高是4 cm，面积是20 cm²，则斜边上的中线的长是
5
cm.
答案：4.5
解析：
【分析】
解题思路分为两步：第一步，把直角三角形的斜边当作底，结合已知的面积和斜边上的高，利用三角形面积公式求出斜边的长度；第二步，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，用斜边长度除以2就能得到斜边上中线的长度。
【解析】
设直角三角形的斜边长为$ x $ cm。
根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}×底×高 $，将面积$ S=20\ \mathrm{cm}^2 $，斜边上的高为$ 4\ \mathrm{cm} $，底为斜边长$ x $代入得：
$ 20 = \frac{1}{2} × x × 4 $
化简得$ 2x=20 $，解得$ x=10 $。
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边上的中线长为$ \frac{1}{2} × 10 = 5\ \mathrm{cm} $。
【答案】
5
【知识点】
三角形面积计算；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过面积公式求出斜边长度，再结合直角三角形的特殊性质计算中线长，熟练掌握相关公式和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ADB=∠ ACB=90°$，$E$是$AB$的中点.
(1)求证:$DE=CE$;
(2)若$∠ CAB=30°$，$∠ DBA=40°$，求$∠ DEC$的度数.
答案：5.(1)证明:$\because ∠ADB=∠ACB=90°$,E是AB的中点，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AB,CE=\frac{1}{2}AB,\therefore DE=CE.$
(2)解:$\because CE=\frac{1}{2}AB=AE,DE=\frac{1}{2}AB=BE,$
$\therefore ∠ECA=∠BAC=30°,∠EDB=∠DBA=40°.$
$\therefore ∠AED=∠EDB+∠EBD=80°,∠BEC=∠ECA+∠EAC=60°,$
$\therefore ∠DEC=180°-∠AED-∠BEC=180°-80°-60°=40°.$
解析：
【分析】
(1) 要证明DE=CE，观察到DE、CE分别是Rt△ADB、Rt△ACB斜边上的中线，结合已知E是AB中点，可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，证明DE、CE都等于AB的一半，即可得二者相等。
(2) 要求∠DEC的度数，先由DE=CE=AE=BE可得△AEC、△BED均为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质得到对应底角相等，再利用三角形外角的性质求出∠AED和∠BEC的度数，最后根据平角为180°，减去∠AED和∠BEC的度数即可求出∠DEC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ADB=∠ACB=90°，E是AB的中点，
∴DE是Rt△ADB斜边AB上的中线，CE是Rt△ACB斜边AB上的中线，
∴$DE=\frac{1}{2}AB$，$CE=\frac{1}{2}AB$，
∴DE=CE。
(2) 解：
∵$CE=\frac{1}{2}AB=AE$，$DE=\frac{1}{2}AB=BE$，
∴∠ECA=∠BAC=30°，∠EDB=∠DBA=40°，
根据三角形外角的性质，可得：
∠AED=∠EDB+∠EBD=40°+40°=80°，
∠BEC=∠ECA+∠EAC=30°+30°=60°，
∵∠AED+∠DEC+∠BEC=180°，
∴∠DEC=180°-80°-60°=40°。
【答案】
(1) DE=CE，证明成立；
(2) $\boldsymbol{40°}$
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础题型，核心考查直角三角形斜边上中线的性质应用，结合等腰三角形和三角形外角的性质即可解题，难度较低，解题时注意理清角之间的数量关系即可避免出错。
【难度系数】
0.7
6.(2025·宿迁宿豫区期中)如图,在△ABC中,点D,E在BC上,AD⊥AB,AE⊥AC,且BE=ED=DC,则图中等腰三角形的个数为 (
B
)
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：6.B
解析：
【分析】
解题时首先观察到图中有两个直角三角形（Rt△ABD和Rt△AEC），且已知BD的中点为E、EC的中点为D，优先联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，通过该性质得到多组相等的线段，再结合等腰三角形“两边相等（或两角相等）即为等腰”的判定条件逐一寻找等腰三角形，最后注意利用外角性质推导角的关系，判断△ABC是否为等腰三角形，避免漏数。
【解析】
1. 分析Rt△ABD：
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，△ABD为直角三角形。
又
∵BE=ED，即E是斜边BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：AE=BE=ED。
∴AE=BE，△ABE是等腰三角形；AE=ED，△AED是等腰三角形。
2. 分析Rt△AEC：
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90°，△AEC为直角三角形。
又
∵ED=DC，即D是斜边EC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：AD=ED=DC。
∴AD=DC，△ADC是等腰三角形；结合之前的AE=ED，可得AE=AD，进一步确认△AED是等腰三角形。
3. 判断△ABC是否为等腰三角形：
∵AE=BE，
∴∠B=∠BAE，∠AED是△ABE的外角，故∠AED=∠B+∠BAE=2∠B；
同理，AD=DC，
∴∠C=∠CAD，∠ADE是△ADC的外角，故∠ADE=∠C+∠CAD=2∠C。
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，即2∠B=2∠C，得∠B=∠C，
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形。
综上，等腰三角形共有△ABE、△AED、△ADC、△ABC，共4个。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形判定，三角形外角性质
【点评】
本题核心是利用直角三角形斜边中线的性质得到线段相等关系，再结合外角性质推导角相等，解题时要逐一排查，避免漏数等腰三角形。
【难度系数】
0.6
