【分析】
解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，分别表示出△AEC和△BCD的底角，再结合角的和差关系、三角形内角和定理建立等式，求出∠A与∠B的和，最后利用△ABC内角和算出∠ACB的度数。第一步先设∠A、∠B的度数为参数，根据等腰三角形性质表示∠ACE和∠BCD，第二步根据两个角相加等于∠ACB+∠DCE的关系列等式，第三步结合△ABC内角和化简等式求出∠A+∠B，第四步计算∠ACB。
【解析】
设∠A=α，∠B=β。
∵ AE=AC，
∴ △AEC是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质得∠AEC=∠ACE，
结合三角形内角和定理可得：$∠ ACE = \frac{180° - α}{2}$；
∵ BC=BD，
∴ △BCD是等腰三角形，同理得∠BDC=∠BCD，$∠ BCD = \frac{180° - β}{2}$。
观察角的组成可知：∠ACE + ∠BCD = ∠ACB + ∠DCE（两个角相加时，重叠部分∠DCE被累加两次，因此和为∠ACB加∠DCE）。
又
∵ 在△ABC中，$∠ ACB = 180° - α - β$，已知∠DCE=40°，将上述式子代入等式：
$\frac{180° - α}{2} + \frac{180° - β}{2} = (180° - α - β) + 40°$
左边化简得：$\frac{360° - α - β}{2} = 180° - \frac{α + β}{2}$
整理等式：
$180° - \frac{α + β}{2} = 220° - α - β$
移项合并得：$\frac{α + β}{2} = 40°$，即$α + β = 80°$
因此$∠ ACB = 180° - (α + β) = 180° - 80° = 100°$
【答案】
100°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型应用题型，解题核心是理清重叠角的和差关系，通过设参数的方法可以简化角的运算，掌握这类题型能有效提升几何角度计算的能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题需要结合等腰三角形的特征分类讨论求解，解题思路如下：1. 等腰三角形按角可分为锐角等腰三角形、钝角等腰三角形，两种情况中一腰的垂直平分线与另一腰的夹角位置不同，需分开分析；2. 先根据垂直平分线的垂直属性和已知夹角求出顶角的度数；3. 最后利用三角形内角和定理以及等腰三角形两底角相等的性质计算底角度数。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当等腰三角形为锐角三角形时：
设等腰△ABC中AB=AC，DE是腰AB的垂直平分线，DE交AC于点E，已知∠AED=40°。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠ADE=90°。
在Rt△ADE中，顶角∠A=90°-∠AED=90°-40°=50°。
∵AB=AC，
∴底角∠B=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°。
② 当等腰三角形为钝角三角形时：
设等腰△ABC中AB=AC，DE是腰AB的垂直平分线，DE交CA的延长线于点E，已知∠AED=40°。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠ADE=90°。
在Rt△ADE中，∠EAD=90°-∠AED=90°-40°=50°，
∴顶角∠BAC=180°-∠EAD=180°-50°=130°。
∵AB=AC，
∴底角∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°。
综上，底角的度数为25°或65°。
【答案】
25°或65°
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，仅考虑锐角等腰三角形的情况导致漏解，解题时要结合图形全面分析不同类型等腰三角形的结构特征，避免思维定式。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时先梳理已知条件：首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中线，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD⊥BC且AD平分∠BAC，得到∠BAD=∠CAD；再结合BE⊥AC的条件，可知∠CBE和∠CAD都与∠C互余，根据同角的余角相等可得∠CBE=∠CAD，最后通过等量代换即可证明结论。
【解析】
证明:
∵AB=AC,AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
∵BE⊥AC,
∴∠BEC=∠ADC=90°,
∴∠CBE=90°-∠C,∠CAD=90°-∠C,
∴∠CBE=∠CAD,
∴∠CBE=∠BAD.
【答案】
∠CBE=∠BAD，证明过程如上。
【知识点】
等腰三角形三线合一、直角三角形两锐角互余、等量代换
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用类题目，解题的关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合直角三角形中角的互余关系找到角的等量关系，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1)要证明DE=DF，观察到DE、DF是点D到∠BAC两边的垂线段，可先证AD是∠BAC的角平分线，再利用角平分线的性质推导结论。已知△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可直接推出AD平分∠BAC，进而得到DE=DF。
(2)求DE的长度时，可将△ABC的面积拆分为△ABD和△ACD的面积之和，结合第一问得出的DE=DF，以及AB=AC=7的已知条件，代入三角形面积公式列方程即可求解。
【解析】
(1)证明：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC。
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF。
(2)解：
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$，$S_{△ABC}=14$，$AB=AC=7$，
∴$\frac{1}{2} AB×DE + \frac{1}{2} AC×DF=14$，
由(1)知DE=DF，代入得：$\frac{1}{2}×7×DE + \frac{1}{2}×7×DE=14$，
化简计算得：$7DE=14$，
∴DE=2。
【答案】
(1)DE=DF得证；
(2)DE的长为2。
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查等腰三角形和角平分线的性质应用，第二问通过拆分三角形面积求解垂线段长度是几何中的常用技巧，需要熟练掌握相关性质的适用场景，灵活运用转化思路解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 要证明∠BCD=2∠CBE，可通过设参数简化角度推导：先设∠CBE=α，利用BE⊥AC的垂直关系得到∠ACB与α的数量关系，再结合等腰△ABC两底角相等的性质、三角形内角和定理把∠A用α表示，最后利用已知∠BCD=∠A即可完成证明。
(2) 对于△BDF为等腰三角形的问题，首先利用三角形外角性质、内角和定理把△BDF的三个内角都用含α的式子表示，先判断三个角的大小关系排除不可能的等腰情况，再分剩余两种等腰情况列方程求解α，进而求出∠A的度数即可。
【解析】
(1) 证明：设∠CBE=α，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠ACB=90°-∠CBE=90°-α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=90°-α，
根据三角形内角和为180°，得：
∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-(90°-α)-(90°-α)=2α，
又
∵∠BCD=∠A，
∴∠BCD=2α，
即∠BCD=2∠CBE，得证。
(2) 解：由(1)可知：∠CBE=α，∠BCD=∠A=2α，∠ABC=∠ACB=90°-α，
∵∠BFD是△BCF的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α，
∵BE⊥AC，在Rt△ABE中，∠ABE+∠A=90°，
∴∠DBF=90°-∠A=90°-2α，
在△BDC中，∠BDF=180°-∠ABC-∠BCD=180°-(90°-α)-2α=90°-α，
可得∠BDF=90°-α＞90°-2α=∠DBF，因此不存在BF=DF的情况，分两种情况讨论：
①当BD=BF时，∠BDF=∠BFD，
即90°-α=3α，解得α=22.5°，
∴∠A=2α=45°；
②当BD=DF时，∠DBF=∠BFD，
即90°-2α=3α，解得α=18°，
∴∠A=2α=36°。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{36°}$或$\boldsymbol{45°}$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形的综合应用题型，第一问通过设参数的方法简化角度推导过程，降低了证明难度；第二问考查分类讨论思想，解题时需要先分析角度大小关系排除不可能的情况，避免出现多解错误，能有效考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6