【分析】
首先明确题目核心要求：找到△ABC内部到三个顶点A、B、C距离相等的点。我们可以结合线段垂直平分线的性质推导：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此要同时满足到三个顶点距离相等，该点必须同时在三条边的垂直平分线上，也就是三边垂直平分线的交点。再逐一区分其他选项对应的交点性质，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
解：已知要求快递站到△ABC的三个顶点距离相等，结合几何性质分析：
1. 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，反之，到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。
到A、B两点距离相等的点，在线段AB的垂直平分线上；
到B、C两点距离相等的点，在线段BC的垂直平分线上；
到A、C两点距离相等的点，在线段AC的垂直平分线上。
因此同时满足到三个顶点距离相等的点，是△ABC三边垂直平分线的交点。
2. 排除错误选项：
A选项：三条角平分线的交点是三角形内心，性质是到三角形三边的距离相等，不符合要求；
C选项：三条高所在直线的交点是三角形垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
D选项：三条中线的交点是三角形重心，性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形特殊交点的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊交点的性质，解题的关键是不要混淆“到三个顶点距离相等”和“到三边距离相等”对应的交点，牢记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先利用线段垂直平分线的性质得到BE=CE、BD=CD，再分别写出△EDC的周长表达式，以及△ABC与四边形AEDC的周长差的表达式，通过对两个表达式做等量代换和运算，消去CE、DC等未知量，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵DE是BC的垂直平分线
∴BE=CE，BD=DC
已知△EDC的周长为24，可得：
$DE + DC + CE = 24$ ---①
已知△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，可得：
$(AB + BC + AC) - (AE + DE + DC + AC) = 12$
化简得：$AB - AE + BC - DC - DE = 12$
∵$AB - AE = BE = CE$，$BC = 2DC$，代入上式得：
$CE + 2DC - DC - DE = 12$
即$CE + DC - DE = 12$ ---②
用①式减去②式：
$(DE + DC + CE) - (CE + DC - DE) = 24 - 12$
$2DE = 12$
解得$DE = 6$
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线的性质；周长计算；等量代换
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是将周长的关系转化为含线段DE的等式，通过消元法求解，需要掌握将几何边长关系转化为代数等式的思维方法。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先根据线段垂直平分线的性质，可得CA=CB、DA=DB，即△ACB和△ADB均为等腰三角形，已知两个等腰三角形的顶角度数，可分别求出底角∠CAB和∠DAB的度数。由于C、D两点相对于AB的位置有两种可能：在AB同侧或在AB异侧，需分两种情况计算∠CAD的度数，同侧时两角相减，异侧时两角相加。
【解析】
∵点C、D在线段AB的垂直平分线上
∴CA=CB，DA=DB
∴△ACB、△ADB均为等腰三角形
在等腰△ACB中，∠ACB=50°，
∴∠CAB=(180°-∠ACB)÷2=(180°-50°)÷2=65°
在等腰△ADB中，∠ADB=90°，
∴∠DAB=(180°-∠ADB)÷2=(180°-90°)÷2=45°
分两种情况讨论：
①当C、D两点在AB的同侧时：
∠CAD=∠CAB - ∠DAB=65°-45°=20°
②当C、D两点在AB的异侧时：
∠CAD=∠CAB + ∠DAB=65°+45°=110°
综上，∠CAD的度数为110°或20°。
【答案】
110°或20°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略C、D两点的位置存在两种情况，导致漏解，解题时要注意结合线段垂直平分线的图形特征分类讨论，熟练运用等腰三角形角度计算的规则即可求解。
【难度系数】
0.5

【分析】
(1) 遇到线段垂直平分线的条件，首先利用其性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得AB=BE、AD=DE。接下来处理周长问题：将△ABC的周长展开，结合△DEC的周长，把相等的线段进行等量替换，消去公共的EC、CD、AD（即DE）部分，即可得到AB+BE的长度，再结合AB=BE就能求出AB的长。
(2) 首先利用第一问得到的相等线段，通过SSS证明△BAD≌△BED，得到对应角相等，即∠ABD=∠EBD、∠ADB=∠EDB。先根据三角形内角和求出∠BAC的度数，再结合∠ABC的度数得到∠ABD的度数，进而求出∠ADB的度数，最后利用平角的性质，用180°减去两倍的∠ADB即可得到∠CDE的度数。
【解析】
(1)
∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB=BE，AD=DE。
∵△ABC的周长为22，△DEC的周长为8，
∴$AB + BC + AC = AB + BE + EC + CD + AD = 22$，
$CD + EC + DE = CD + CE + AD = 8$，
两式相减得$AB + BE = 22 - 8 = 14$，
又
∵$AB=BE$，
∴$AB = \frac{1}{2}×14 = 7$。
(2) 由(1)知$BA=BE$，$AD=DE$，
在△BAD和△BED中，
$\begin{cases} BA=BE \\ BD=BD \\ DA=DE \end{cases}$
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴$∠ADB=∠EDB$，$∠ABD=∠EBD$。
∵$∠ABC=30°$，$∠C=50°$，
∴$∠ABD = \frac{1}{2}∠ABC = 15°$，
$∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 30° - 50° = 100°$，
在△ABD中，$∠ADB = 180° - ∠BAC - ∠ABD = 180° - 100° - 15° = 65°$，
∴$∠EDB=∠ADB=65°$，即$∠ADE=2∠ADB=130°$，
∴$∠CDE = 180° - ∠ADE = 180° - 130° = 50°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7}$；(2) $\boldsymbol{50°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题围绕线段垂直平分线的性质展开，结合了三角形周长计算、全等证明和角度求解，解题的核心是通过垂直平分线的性质得到相等线段，再通过等量代换简化计算，是几何部分的基础综合题，需要熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
要证明OE垂直平分BD，需利用线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，且两点确定一条直线。首先利用已知条件证明△AOB与△COD全等，得到OB=OD，即可推出点O在BD的垂直平分线上；再结合已知的BE=DE，可推出点E也在BD的垂直平分线上，最终就能得出OE垂直平分BD。
【解析】
证明:在△AOB与△COD中,
$\begin{cases} ∠A=∠C, \\ OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
∴△AOB≌△COD(ASA),
∴OB=OD,
∴点O在线段BD的垂直平分线上.
∵BE=DE,
∴点E在线段BD的垂直平分线上,
∴OE垂直平分BD.
【答案】
证明:在△AOB与△COD中,
$\begin{cases} ∠A=∠C, \\ OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
∴△AOB≌△COD(ASA),
∴OB=OD,
∴点O在线段BD的垂直平分线上.
∵BE=DE,
∴点E在线段BD的垂直平分线上,
∴OE垂直平分BD.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题侧重基础定理的应用，解题核心是先通过角边角判定定理证明三角形全等得到OB=OD，再结合线段垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线的原理得出结论，掌握相关判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1)求解∠PAQ的度数：首先根据线段垂直平分线的性质，可得垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，即PA=PB、QA=QC，可证对应直角三角形全等，得到∠B=∠MAP、∠C=∠NAQ；再结合三角形内角和定理，由∠BAC=80°求出∠B+∠C=100°，最后通过角的和差关系建立等量关系即可求出∠PAQ的度数。
(2)求解PQ的长：首先对△APQ的周长做等量代换，利用PA=PB、QA=QC，把AQ、AP替换为CQ、PB，再结合BC的长度，建立和PQ相关的等式即可求解。
【解析】
(1)
∵MP垂直平分AB，
∴∠PMA=∠PMB=90°，PA=PB。
在Rt△PMA与Rt△PMB中，$\begin{cases} PM=PM, \\ PA=PB, \end{cases}$
∴Rt△PMA≌Rt△PMB(HL)，
∴∠MAP=∠B。
同理可得∠C=∠NAQ。
设∠PAQ=x，∠CAP=y，∠BAQ=z，
∴∠B=∠MAP=x+z，∠C=∠NAQ=x+y。
∵∠BAC=80°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=100°，
即$x+y+z=80°$，$x+z+x+y=100°$，
解得$x=20°$，
∴∠PAQ=20°。
(2)
∵△APQ的周长为12，
∴$AQ+PQ+AP=12$。
∵NQ垂直平分AC，MP垂直平分AB，
∴AQ=CQ，AP=PB，
∴$CQ+PQ+PB=12$，
即$CQ+BQ+2PQ=12$，也就是$BC+2PQ=12$。
∵BC=8，
∴$8+2PQ=12$，解得$PQ=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是线段垂直平分线应用的典型题型，解题核心是利用垂直平分线的性质得到相等的边和角，再结合角的和差关系、周长的等量代换完成求解，侧重考察基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7