【分析】
解题时首先提取题干关键条件：DE垂直平分AB，由此联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。点D在垂直平分线DE上，因此可推出AD=BD，再观察AC的构成：AC由AD和CD两段组成，将已知的BD、CD的长度代入计算，即可求出AC的长度。
【解析】
∵DE垂直平分AB，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD
已知BD=6，
∴AD=6
又
∵AC=AD+CD，且CD=3
∴AC=6+3=9
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.线段的和差计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题，只要牢记相关性质，结合图形中线段的和差关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。首先由AB=AC可推出点A在BC的垂直平分线上，再由OB=OC推出点O也在BC的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可得AD就是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知D是BC的中点，因此BD的长度为BC的一半，代入BC的长度即可求出结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
又
∵OB=OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，且A、O都在直线AD上，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
∴D为BC的中点，即$\boldsymbol{BD=\frac{1}{2}BC}$，
∵BC=4，
∴BD=$\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础题，解题的关键是灵活运用线段垂直平分线的判定定理，确定AD为BC的垂直平分线，再结合垂直平分线的性质求解，熟练掌握相关定理可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先从已知条件“CD垂直平分AB”入手，根据线段垂直平分线的性质可得AC=BC，即可判定△ABC为等腰三角形，利用等边对等角得到∠A=∠B；再观察∠ACE是△ABC的外角，结合三角形外角的性质，即可求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵CD垂直平分AB，点C在AB的垂直平分线上，
∴AC=BC，
∴∠A=∠B=33°，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠A+∠B=33°+33°=66°。
【答案】
66°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础角度计算题，解题的关键是熟练运用线段垂直平分线的性质得到边的等量关系，进而转化为角的等量关系，再结合三角形外角的性质计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.85

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先看到点D在AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD，因此只需要先求出AD的长度即可得到BD的长度。已知AC和CD的长度，通过线段的和差关系就能算出AD的长度。
【解析】
首先计算AD的长度：
∵ $AC = 8$，$CD = 5$
∴ $AD = AC - CD = 8 - 5 = 3$
又
∵ D在AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
∴ $BD = AD = 3$
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质、线段的和差计算
【点评】
本题是基础题型，核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，再结合简单的线段和差运算即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1)要证明$AB=EC$，可通过中间线段$AE$过渡：首先根据线段垂直平分线的性质，由$EF$垂直平分$AC$可得$AE=EC$；再结合$AD\bot BC$、$BD=DE$，可知$AD$是线段$BE$的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得$AB=AE$，通过等量代换即可得到$AB=EC$。
(2)首先根据$△ ABC$的周长和$AC$的长度，先求出$AB$与$BC$的长度和；再结合$BD=DE$、$AB=EC$的结论，将$DC$拆分为$DE+EC$，进一步转化为$\frac{1}{2}(AB+BC)$，代入数值即可求出$DC$的长度。
【解析】
(1)证明：
∵$EF$垂直平分$AC$，
∴$AE=EC$.
∵$AD\bot BC$，$BD=DE$，
∴$AD$垂直平分$BE$，
∴$AB=AE$，
∴$AB=EC$.
(2)解：
∵$△ ABC$的周长为$20\ \mathrm{cm}$，
∴$AB+BC+AC=20\ \mathrm{cm}$.
∵$AC=9\ \mathrm{cm}$，
∴$AB+BC=20-9=11\ \mathrm{cm}$.
∵$AB=EC$，$BD=DE$，
∴$DC=DE+EC=\frac{1}{2}BE+EC=\frac{1}{2}(BC-EC)+EC=\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}EC=\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{1}{2}×11=5.5(\mathrm{cm})$.
【答案】
(1)$AB=EC$得证；
(2)$\boxed{5.5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题侧重考查线段垂直平分线性质的应用，解题时要善于利用垂直平分线的性质得到相等线段，通过合理的等量代换建立待求量和已知条件的关系即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先从已知条件入手：①由AD⊥BC且BD=CD，可知AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC，即可求出AC的长度；②再结合点C在AE的垂直平分线上，再次利用线段垂直平分线的性质可得AC=CE，由此得到CE的长度；③已知BD=CD，可得到CD的长度，最后DE的长度为CD与CE的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AD垂直平分线段BC，
∴AC=AB=5。
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=CE=5。
又
∵BD=3，BD=CD，
∴CD=3，
∴DE=CD+CE=3+5=8。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到相等的线段，再结合已知线段的长度，通过线段和差运算求出结果，考查了对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.8