【分析】
首先根据AB//DE的性质得到内错角相等，结合已知AC=EC和对顶角相等，证明△ABC≌△EDC，得到DE=AB=8cm；接下来分两种情况讨论：①点P沿A→B方向运动时，②点P沿B→A方向返回运动时，两种情况都可通过证明△ACP≌△ECQ得到AP=EQ的等量关系，再结合P、Q的运动路程列方程求解即可。
【解析】
解：$\because AB// DE$，$\therefore ∠ A=∠ E$
在$△ ABC$和$△ EDC$中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ E\\ AC=EC\\ ∠ ACB=∠ ECD\end{array} $
$\therefore △ ABC≌△ EDC(ASA)$，$\therefore DE=AB=8\mathrm{cm}$
当线段PQ经过点C时，在$△ ACP$和$△ ECQ$中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ E\\ AC=EC\\ ∠ ACP=∠ ECQ\end{array} $
$\therefore △ ACP≌△ ECQ(ASA)$，$\therefore AP=EQ$
设点P的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，分两种情况讨论：
① 当P沿$A\to B$运动时，$0＜ t≤ \frac{8}{3}$，此时$AP=3t\ \mathrm{cm}$，$DQ=t\ \mathrm{cm}$，$EQ=DE-DQ=(8-t)\mathrm{cm}$
列方程：$3t=8-t$，解得$t=2$，符合取值范围；
② 当P沿$B\to A$返回运动时，$\frac{8}{3}＜ t≤ \frac{16}{3}$，此时P运动总路程为$3t\ \mathrm{cm}$，$AP=8-(3t-8)=(16-3t)\mathrm{cm}$，$EQ=(8-t)\mathrm{cm}$
列方程：$16-3t=8-t$，解得$t=4$，符合取值范围。
综上，点P的运动时间为2s或4s。
【答案】
2或4
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；动点问题分类讨论
【点评】
本题是三角形全等和动点结合的典型考题，解题核心是先通过全等得到线段等量关系，再根据动点的运动方向分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

【分析】
已知△ABC是等腰直角三角形，三个顶点在三条平行线上，已知平行线间的距离，要求三角形面积，关键是求出直角边AB（或AC）长度的平方。我们可以通过过B、C向直线a作垂线，构造两个直角三角形，利用“同角的余角相等”得到一组角相等，结合已知AB=AC、两个直角相等，证明两个直角三角形全等，得到对应边相等，再用勾股定理求出AB的平方，最后计算等腰直角三角形的面积即可。
【解析】
过点B作BM⊥直线a于点M，过点C作CN⊥直线a于点N。
∵ 直线a//b//c，a、b之间的距离为2，b、c之间的距离为4，
∴ BM=2，CN=2+4=6，∠AMB=∠CNA=90°。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAM + ∠CAN = 180° - 90° = 90°。
∵ 在Rt△ABM中，∠BAM + ∠ABM = 90°，
∴ ∠ABM = ∠CAN。
在△ABM和△CAN中：
$\{\begin{array}{l}∠AMB=∠CNA \\∠ABM=∠CAN \\AB=AC\end{array} $
∴ △ABM≌△CAN（AAS），
∴ AM=CN=6。
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 6^2 + 2^2 = 40$。
∵ △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB·AC = \frac{1}{2} AB^2 = \frac{1}{2} ×40 = 20$。
【答案】
20
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线间的距离，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是结合平行线和等腰直角三角形的特征，合理作辅助线构造全等三角形，将平行线间的距离转化为直角三角形的边长，再结合勾股定理求解，对辅助线构造的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

【分析】
要证明∠ADE=∠ABE，可通过证明两角所在的△ADE与△ABE全等来实现。已知AD=AB，AE是两个三角形的公共边，还缺一组夹角相等的条件，即需要证明∠DAE=∠BAE。观察已知条件，AB=AD、DC=BC，且AC是△ABC和△ADC的公共边，可先通过SSS判定△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质就能得到∠CAB=∠CAD，即得到了需要的夹角条件，再通过SAS判定△ADE≌△ABE，即可推出∠ADE=∠ABE。
【解析】
证明：
在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ CB=CD, \\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC \ (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ CAB = ∠ CAD$，即$∠ EAD = ∠ EAB$。
在$△ ADE$和$△ ABE$中，
$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠ EAD = ∠ EAB, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ ABE \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ ABE$。
【答案】
证明:在△ABC和△ADC中,$\begin{cases} AB=AD, \\ CB=CD, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠CAB=∠CAD.
在△ADE和△ABE中,$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠EAD=∠EAB, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△ADE≌△ABE(SAS),
∴∠ADE=∠ABE.
【知识点】
SSS证全等，SAS证全等，全等三角形性质
【点评】
本题是三角形全等应用的常规题型，需要结合待证结论逆向推导所需条件，先后两次证明三角形全等即可得到结论，解题时要注意找准全等三角形的对应边、对应角，理清证明的逻辑顺序。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1)要证BD=CE，可证两条线段所在的△ABD和△ACE全等，题目已知两边AB=AC、AD=AE，且两边的夹角∠1=∠2，满足SAS全等判定条件，证得三角形全等后，结合全等三角形对应边相等即可得结论。
(2)要证AM=AN，可证两条线段所在的△ACM和△ABN全等，首先由∠1=∠2，两边同时加公共角∠DAE可推出∠BAN=∠CAM，再结合第一问全等得到的对应角∠B=∠C，以及已知的AB=AC，满足ASA全等判定条件，证得三角形全等后，结合全等三角形对应边相等即可得结论。
【解析】
(1)在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠1=∠2, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE。
(2)
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM。
∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠C。
在△ACM和△ABN中，
$\begin{cases} ∠C=∠B, \\ AC=AB, \\ ∠CAM=∠BAN, \end{cases}$
∴△ACM≌△ABN(ASA)，
∴AM=AN。
【答案】
(1)BD=CE得证；(2)AM=AN得证，证明过程见解析。
【知识点】
SAS判定定理，ASA判定定理，全等三角形性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，核心解题思路是将待证相等的线段转化为证明对应三角形全等，通过已知条件推导全等所需的边角关系即可求解，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要证明△AED≌△CEF，先梳理已知条件：E是AC中点，可直接得到一组边相等AE=CE；由CF//AB，根据平行线的性质可得两组内错角相等，满足AAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 判断DE与BC的关系需同时考虑位置关系和数量关系：首先由(1)的全等结论可得AD=CF、DE=EF，即DE=$\frac{1}{2}$DF；结合D是AB中点可得AD=BD，等量代换得BD=CF，再由CF//AB得到一组内错角相等，结合公共边CD，可用SAS证明△BDC≌△FCD，从而得到BC=DF、∠BCD=∠FDC，由内错角相等得DE//BC，再结合DE=$\frac{1}{2}$DF即可推出数量关系DE=$\frac{1}{2}$BC。
【解析】
(1) 证明：
∵E是AC的中点，
∴AE=CE。
∵CF//AB，
∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F。
在△AED和△CEF中，
$\begin{cases} ∠A=∠FCE, \\ ∠ADE=∠F, \\ AE=CE, \end{cases}$
∴△AED≌△CEF(AAS)。
(2) 解：$DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$，理由：如答图，连接CD。
由(1)得△AED≌△CEF，
∴AD=CF，DE=FE，
∴$DE=\frac{1}{2}DF$。
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF。
∵CF//AB，
∴∠BDC=∠FCD。
在△BDC和△FCD中，
$\begin{cases} BD=FC, \\ ∠BDC=∠FCD, \\ DC=CD, \end{cases}$
∴△BDC≌△FCD(SAS)，
∴BC=DF，∠BCD=∠FDC，
∴$DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$。
【答案】
10. (1)证明:
∵E是AC的中点,
∴AE=CE.
∵CF//AB,
∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F.
在△AED和△CEF中,$\begin{cases} ∠A=∠FCE, \\ ∠ADE=∠F, \\ AE=CE, \end{cases}$
∴△AED≌△CEF(AAS).
(2)解:$DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$,理由:如答图,连接CD.
由(1)得△AED≌△CEF,
∴AD=CF,DE=FE,
∴$DE=\frac{1}{2}DF$.
∵D是AB的中点,
∴AD=BD,
∴BD=CF.
∵CF//AB,
∴∠BDC=∠FCD.
在△BDC和△FCD中,$\begin{cases} BD=FC, \\ ∠BDC=∠FCD, \\ DC=CD, \end{cases}$
∴△BDC≌△FCD(SAS),
∴BC=DF,∠BCD=∠FDC,
∴$DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$.

【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，利用全等得到的边角等量关系进一步推导线段的位置与数量关系，注意判断两条线段的关系时需同时考虑位置和数量两个维度，避免漏解。
【难度系数】
0.7