2.(2025·吉林)【知识链接】
实验目的:探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程:如图①,在两个完全相同的溢水杯中,分别盛满甲、乙两种不同密度的液体,将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A,B的下方,从离桌面20 cm的高度,分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中,通过观察弹簧测力计示数的变化,探究浮力大小的变化.(溢水杯的杯底厚度忽略不计)
实验结论:物体在液体中所受浮力的大小,跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大,浮力就越大.
总结公式:当小铝块位于液面上方时,$F_{拉力}=G_{重力}$;当小铝块浸入液面后,$F_{拉力}=G_{重力}-F_{浮力}$.
【建立模型】在实验探究的过程中,实验小组发现:弹簧测力计A,B各自的示数$F_{拉力}$(N)与小铝块各自下降的高度x(cm)之间的关系如图②所示.
【解决问题】
(1)当小铝块下降10 cm时,直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数.
(2)当$6≤x≤10$时,求弹簧测力计A的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式.
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8 cm时,甲液体中的小铝块受到的浮力为m(N),若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m(N),则乙液体中小铝块浸入的深度为n(cm),直接写出m,n的值.
答案：解:(1)当小铝块下降10 cm时,弹簧测力计A的示数为2.8 N,弹簧测力计B的示数为2.5 N.
(2)当6≤x≤10时,设弹簧测力计A的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=kx+b$(k,b为常数,且k≠0),将坐标(6,4)和(10,2.8)分别代入$F_{拉力}=kx+b$,
得$\begin{cases} 6k+b=4, \\ 10k+b=2.8, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-0.3, \\ b=5.8, \end{cases}$
∴当6≤x≤10时,弹簧测力计A的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=-0.3x+5.8(6≤x≤10).$
(3)根据图象,圆柱体小铝块所受重力为4 N,当x=8时,$F_{拉力}=-0.3×8+5.8=3.4$,
4-3.4=0.6(N),
∴m=0.6.
当6≤x≤10时,设弹簧测力计B的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=k_1x+b_1$($k_1,b_1$为常数,且$k_1≠0$),将坐标(6,4)和(10,2.5)分别代入$F_{拉力}=k_1x+b_1$,
得$\begin{cases} 6k_1+b_1=4, \\ 10k_1+b_1=2.5, \end{cases}$解得$\begin{cases} k_1=-0.375, \\ b_1=6.25, \end{cases}$
∴当6≤x≤10时,弹簧测力计B的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=-0.375x+6.25(6≤x≤10),$
当-0.375x+6.25=3.4时,
解得x=7.6,7.6-6=1.6(cm),
∴n=1.6.
解析：
【分析】
(1) 第一问直接观察函数图像，找到横坐标x=10cm对应的两个弹簧测力计的纵坐标数值即可得到结果。
(2) 第二问求指定区间内一次函数的表达式，采用待定系数法：先设出一次函数的一般形式，再选取区间端点对应的两个坐标点代入，解二元一次方程组求出参数值，最后注明x的取值范围即可。
(3) 第三问首先根据图像得到小铝块重力为4N，将x=8代入第二问求出的A的函数解析式，得到此时A的拉力，再根据$F_{浮}=G-F_{拉}$求出m的值；接着用待定系数法求出6≤x≤10时B的拉力函数表达式，令拉力等于4-m求出对应的x值，由于x=6cm时小铝块刚接触乙液体液面，因此浸入深度n等于所求x值减去6cm即可。
【解析】
(1) 观察图②的函数图像，当x=10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为2.5N。
(2) 当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=kx+b$（k、b为常数，k≠0），
将点(6,4)和(10,2.8)代入表达式得：
$\begin{cases} 6k+b=4 \\ 10k+b=2.8 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-0.3 \\ b=5.8 \end{cases}$
因此当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数关于x的函数表达式为$F_{拉力}=-0.3x+5.8（6≤x≤10）$。
(3) 由图像可知小铝块的重力G=4N，
当x=8cm时，代入A的函数表达式得$F_{拉力}=-0.3×8+5.8=3.4N$，
此时浮力$m=G-F_{拉力}=4-3.4=0.6N$。
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=k_1x+b_1$（$k_1$、$b_1$为常数，$k_1≠0$），
将点(6,4)和(10,2.5)代入得：
$\begin{cases} 6k_1+b_1=4 \\ 10k_1+b_1=2.5 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_1=-0.375 \\ b_1=6.25 \end{cases}$
即B的函数表达式为$F_{拉力}=-0.375x+6.25（6≤x≤10）$。
当乙中浮力也为0.6N时，拉力为$4-0.6=3.4N$，令$-0.375x+6.25=3.4$，
解得x=7.6cm，
由于x=6cm时小铝块刚接触乙液体液面，因此浸入深度$n=7.6-6=1.6cm$。
【答案】
(1) 弹簧测力计A示数为2.8N，弹簧测力计B示数为2.5N；
(2) $F_{拉力}=-0.3x+5.8（6≤x≤10）$；
(3) $m=0.6$，$n=1.6$。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，图像信息提取
【点评】
本题是跨学科综合题，结合浮力实验背景考查一次函数的相关知识，既需要学生具备从函数图像中准确读取有效信息的能力，也需要熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，同时要理清物理量之间的运算关系，能很好地考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
