1. 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩. 某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表：
(1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
(2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件(进货价和销售价都不变)，且第二次进货总价不高于16800元. 该服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？
答案：(1)设购进短款服装x件，购进长款服装y件.
根据题意，得$\begin{cases}x+y=50,\\80x+90y=4300,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=20,\\y=30.\end{cases}$
答:购进长款服装30件，购进短款服装20件.
(2)设第二次购进m件短款服装，则购进(200-m)件长款服装，
$\therefore 80m+90(200-m)≤16800$，解得$m≥120$.
设利润为w元，则$w=(100-80)m+(120-90)(200-m)=-10m+6000$.
$\because -10＜0$，$\therefore w$随m的增大而减小.
$\therefore$当$m=120$时，w取得最大值，最大值为$-10×120+6000=4800$，$200-m=80$.
答:当购进120件短款服装，80件长款服装时能获得最大销售利润，最大销售利润是4800元.
解析：
【分析】
(1) 第一问是二元一次方程组的实际应用，解题时先找准两个等量关系：①短款服装件数+长款服装件数=总进货件数50件；②短款服装总进货费+长款服装总进货费=总进货金额4300元。设未知数对应两款服装的进货量，代入等量关系列方程组求解即可。
(2) 第二问属于方案设计与最值问题，首先根据“第二次进货总价不高于16800元”的不等关系，设短款服装进货量为自变量，列一元一次不等式求出自变量的取值范围；再根据“总利润=单件利润×销售数量”列出总利润关于自变量的一次函数表达式，结合一次函数的增减性，在自变量取值范围内找到使总利润最大的取值，进而求出最大利润和对应进货方案。
【解析】
(1) 设购进短款服装$x$件，购进长款服装$y$件，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=50\\80x+90y=4300\end{cases}$
将$x=50-y$代入第二个方程，得$80(50-y)+90y=4300$，解得$y=30$，则$x=50-30=20$，即方程组的解为$\begin{cases}x=20\\y=30\end{cases}$。
(2) 设第二次购进$m$件短款服装，则购进长款服装$(200-m)$件。
根据进货总价限制列不等式：
$80m+90(200-m)≤16800$
解得$m≥120$。
设销售总利润为$w$元，短款单件利润为$100-80=20$元，长款单件利润为$120-90=30$元，因此：
$w=20m+30(200-m)=-10m+6000$
$\because -10＜0$，$\therefore w$随$m$的增大而减小，因此当$m$取最小值时$w$最大。
结合$m≥120$，得$m=120$时$w$取最大值，此时长款服装进货量为$200-120=80$件，最大利润$w=-10×120+6000=4800$元。
【答案】
(1) 购进短款服装20件，长款服装30件；
(2) 购进120件短款服装、80件长款服装时能获得最大销售利润，最大销售利润是4800元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，一次函数最值问题
【点评】
本题是实际应用类综合题，融合了方程、不等式与一次函数的核心知识，解题关键是准确提取题干中的等量、不等关系列出对应式子，结合一次函数增减性求解最值，能够有效考查学生的信息梳理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.65
2.(2025·济南)随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升.某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求.据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同.
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元；
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
答案：(1)$56000-50000=6000$(元)，$6000÷300=20$(台)，
$50000÷20=2500$(元)，$2500+300=2800$(元).
答:甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元.
(2)设甲型健身器材购买了a台，则乙型健身器材购买了$(20-a)$台，由题意，得$a≤3(20-a)$，解得$a≤15$，采购费用$w=2800(20-a)+2500a=-300a+56000$，
由$-300＜0$，得w随a的增大而减小，
由于$a≤15$且a为正整数，故当$a=15$时，w取得最小值，且最小值为$w=-300×15+56000=51500$(元)，
$20-a=5$，
故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，采购费用最低，最低采购费用为51500元.
解析：
【分析】
(1) 第一问的解题核心是抓住“购买甲、乙两种器材的数量相同”这一关键条件：相同数量下，买乙比买甲多花的总费用除以单台差价，即可得到购买的器材数量，再用总价除以数量就能分别算出两种器材的单价。
(2) 第二问属于方案最值问题：首先设甲型器材购买数量为未知数，根据“甲型数量不超过乙型数量的3倍”列不等式，求出未知数的取值范围；再列出总采购费用关于未知数的一次函数表达式，结合一次函数的增减性，就能找到费用最小时对应的未知数取值，进而算出最小费用。
【解析】
(1) 相同数量的甲、乙型器材总费用差为：
$56000-50000=6000$（元）
已知单台乙型比甲型贵300元，可得购买的器材数量为：
$6000÷300=20$（台）
甲型健身器材单价：$50000÷20=2500$（元）
乙型健身器材单价：$2500+300=2800$（元）
(2) 设购买甲型健身器材$a$台，则购买乙型健身器材$(20-a)$台，由题意得不等关系：
$a≤3(20-a)$
解不等式：
$a≤60-3a$
$4a≤60$
$a≤15$
设总采购费用为$w$元，可得费用表达式：
$w=2500a+2800(20-a)=-300a+56000$
∵$-300＜0$，
∴$w$随$a$的增大而减小
又
∵$a$为正整数且$a≤15$，
∴当$a$取最大值15时，$w$最小
最小费用为：$w=-300×15+56000=51500$（元）
【答案】
(1) 甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元；
(2) 购买甲型健身器材15台时采购费用最少，最少采购费用是51500元。
【知识点】
总价单价数量关系，一元一次不等式应用，一次函数最值
【点评】
本题结合生活采购实际场景，考查学生建立数学模型解决实际问题的能力，解题关键是找准题目中的等量关系和不等关系，结合一次函数的增减性求解最优方案，是常见的实际应用类题型。
【难度系数】
0.7
