1.一种弹簧秤最大能称不超过 15 kg 的物体，不挂物体时弹簧的长为 10 cm，每挂重 1 kg 物体，弹簧伸长 0.3 cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度 y(cm)与所挂物体的质量 x(kg)之间的函数表达式为（
D
）
A.$y=0.3x$
B.$y=10-0.3x$
C.$y=-0.3x$
D.$y=10+0.3x$
答案：1.D
解析：
【分析】
本题考查一次函数在弹簧伸长问题中的实际应用，解题思路如下：第一步先明确挂重后弹簧总长度的组成，等于弹簧不挂重物的原长加上挂重后弹簧伸长的长度；第二步从题干提取已知量：弹簧原长为10cm，每挂1kg物体弹簧伸长0.3cm，据此可计算挂x kg物体时的伸长量；第三步将原长和伸长量相加即可得到函数表达式，再匹配选项即可。
【解析】
根据弹簧长度的等量关系：挂重后弹簧总长度 = 弹簧原长 + 挂重后伸长的长度。
已知弹簧原长为10cm，每挂1kg物体伸长0.3cm，那么挂x kg物体时，弹簧伸长的长度为0.3x cm，因此可得函数表达式：
$y = 10 + 0.3x$（$0≤x≤15$）
对比各选项，D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数实际应用，列函数关系式，弹簧伸长规律
【点评】
本题属于基础的函数应用题型，解题核心是找准所求量的等量构成，梳理清楚题干中的各个已知条件对应关系，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
2.(2025·徐州期末)为了保护学生视力，课桌高度$y$ cm与凳子高度$x$ cm按照$y=\frac{5}{3}x + b$的关系配套设计，已知一张高62 cm的课桌配高33 cm的凳子，那么高39 cm的凳子应配课桌的高度为（
D
）
A.69 cm
B.70 cm
C.71 cm
D.72 cm
答案：2.D
解析：
【分析】
本题是一次函数的实际应用类题目，解题思路清晰可分为两步：首先利用题干给出的已知配套的凳子、课桌高度，代入含未知参数b的一次函数关系式，求出b的具体值，确定完整的函数解析式；再把39cm的凳子高度作为自变量x的值代入已确定的解析式，计算得到对应的课桌高度y即可。
【解析】
第一步：求参数b，确定函数解析式
已知当凳子高度$x=33\mathrm{cm}$时，课桌高度$y=62\mathrm{cm}$，将两组值代入关系式$y=\frac{5}{3}x + b$，可得：
$\displaystyle 62 = \frac{5}{3} × 33 + b$
计算得$\displaystyle \frac{5}{3} × 33 = 55$，因此$62=55+b$，解得$b=62-55=7$。
故完整的函数关系式为$\displaystyle y=\frac{5}{3}x +7$。
第二步：代入$x=39$求对应的课桌高度
将$x=39$代入$\displaystyle y=\frac{5}{3}x +7$，可得：
$\displaystyle y = \frac{5}{3} × 39 +7 = 5×13 +7 = 65+7=72(\mathrm{cm})$
因此高39cm的凳子应配课桌高度为72cm，选D。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求解析式、一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的基础应用，解题核心是先利用已知对应值确定函数解析式，再代入求值，运算量小，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.85
3. 已知池中有$600\ \mathrm{m}^3$的水，每小时抽$50\ \mathrm{m}^3$，则剩余水的体积$Q(\mathrm{m}^3)$与时间$t(\mathrm{h})$的函数表达式是
Q=-50t+600(0≤t≤12)
.(写出自变量的取值范围)
答案：3.$Q=-50t+600(0≤t≤12)$
解析：
【分析】
解题时首先明确剩余水量的计算逻辑：剩余水量=水池原有水量-已抽出的水量，先根据这个等量关系写出Q与t的函数关系式。接下来确定自变量t的取值范围：一方面时间t不能为负数，另一方面剩余水量不能小于0，结合这两个实际限制条件就能求出t的合理范围，最后整理出带自变量范围的函数表达式即可。
【解析】
1. 列函数关系式：
根据题意，剩余水的体积=原有水的体积-t小时抽出的水的体积。
已知原有水量为600$\mathrm{m}^3$，每小时抽50$\mathrm{m}^3$，t小时抽出的水量为$50t$ $\mathrm{m}^3$，代入等量关系得：
$Q=600-50t$，整理为一次函数形式即$Q=-50t+600$。
2. 求自变量t的取值范围：
① 时间具有非负性，因此$t≥0$；
② 剩余水量不能为负数，即$Q≥0$，代入函数式得：
$-50t+600≥0$
解不等式得$t≤12$。
综合两个限制条件，得t的取值范围为$0≤ t≤12$。
【答案】
$Q=-50t+600(0≤t≤12)$
【知识点】
列函数解析式；自变量取值范围确定；一次函数实际应用
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，解题核心是准确梳理实际问题中的数量关系，需要注意自变量的取值不仅要使函数解析式有意义，还要符合实际场景的要求，避免出现不符合生活逻辑的取值。
【难度系数】
0.85
4. 如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的.小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度$y$(单位:cm)随着碗的数量$x$(单位:个)的变化规律.下表是小亮经过测量得到的$y$与$x$之间的对应数据：
(1)依据小亮测量的数据，写出$y$与$x$之间的函数表达式，并说明理由；
(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过$28.8\ \mathrm{cm}$，求此时碗最多有多少个？
答案：4.解:(1)由表中的数据知,x的值增加1时,y的增加量不变,
∴y是x的一次函数,设y=kx+b.
由题意得$\begin{cases} k+b=6, \\ 2k+b=8.4, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=2.4, \\ b=3.6, \end{cases}$
∴y与x之间的函数表达式为$y=2.4x+3.6$.
(2)设碗有x个,则$2.4x+3.6≤28.8$,解得$x≤10.5$,
∴x的最大整数解为10.
答:碗最多有10个.
解析：
【分析】
（1）首先观察x与y的对应数据，发现碗的数量x每增加1，总高度y的增量固定，符合一次函数的特征，因此可判断y是x的一次函数。接下来用待定系数法，设函数解析式为$y=kx+b$，代入两组对应x、y值，解二元一次方程组求出k、b的值即可得到函数表达式，可代入其余数据验证解析式正确。
（2）总高度不超过28.8cm即$y≤28.8$，将第一问得到的函数表达式代入不等式求解，结合x表示碗的数量，必须为正整数，取取值范围内的最大整数即为最多的碗数。
【解析】
(1) 由表格数据可知，x每增加1时y的增量恒定，因此y是x的一次函数，设$y=kx+b$（$k≠0$）。
将$x=1,y=6$和$x=2,y=8.4$代入解析式，得：
$\begin{cases} k+b=6 \\ 2k+b=8.4 \end{cases}$
两式相减得$k=2.4$，将$k=2.4$代入$k+b=6$，解得$b=3.6$。
因此y与x的函数表达式为$y=2.4x+3.6$（x为正整数）。
(2) 由题意得总高度满足$y≤28.8$，代入函数表达式得：
$2.4x+3.6≤28.8$
移项计算得$2.4x≤25.2$，解得$x≤10.5$。
因为x为碗的数量，只能取正整数，因此x的最大整数解为10。
【答案】
(1) $y=2.4x+3.6$（x为正整数）；
(2) 10个
【知识点】
1. 一次函数实际应用
2. 待定系数法求解析式
3. 一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了一次函数的判定、解析式求解及不等式的实际应用，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义，避免直接将小数解作为最终答案。
【难度系数】
0.8
5.(2025·苏州)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度$v$(m/s)与温度$t$(℃)的部分对应数值如表：
研究发现$v$,$t$满足公式$v=at+b$($a$,$b$为常数，且$a≠0$)，当温度$t$为$15°\mathrm{C}$时，声音传播的速度$v$为
$(\ \ \ \ \ )$
A.$333\ \mathrm{m/s}$
B.$339\ \mathrm{m/s}$
C.$341\ \mathrm{m/s}$
D.$342\ \mathrm{m/s}$
答案：5.B
解析：
【分析】
已知声音传播速度v和温度t满足一次函数关系v=at+b，要计算t=15℃时的v值，需先确定常数a、b的值。我们可以从表格中选取两组t、v的对应值代入函数式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b，即可得到v与t的完整函数表达式，最后将t=15代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
选取表格中t=0，v=330和t=10，v=336两组数据代入v=at+b，可得：
$\begin{cases}b=330 \\10a + b=336\end{cases}$
将b=330代入第二个方程，得10a + 330=336，解得a=0.6。
因此v与t的函数关系式为$v=0.6t+330$。
当t=15℃时，代入得$v=0.6×15 + 330=9+330=339(\mathrm{m/s})$。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数求值
【点评】
本题是一次函数在实际场景中的基础应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，计算时注意数值代入准确即可。
【难度系数】
0.8
