【分析】
解题时先回忆正比例函数的相关性质，第一步根据函数的增减性判断比例系数k的符号：正比例函数y=kx中，若y随x的增大而减小，说明k＜0；第二步结合k的符号对应正比例函数图象经过的象限：k＜0时，图象是过原点且从左上向右下倾斜的直线，对应经过第二、四象限，即可得出答案。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y=kx$的函数值$y$随$x$的增大而减小，
∴ $k ＜ 0$，
又
∵ 正比例函数的图象是过原点的直线，当$k＜0$时，图象经过第二、四象限，
∴ 该正比例函数的图象经过第二、四象限。
【答案】
二、四
【知识点】
正比例函数的性质，正比例函数图象特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察正比例函数中k的符号与函数增减性、图象所在象限的对应关系，牢记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先回忆正比例函数的图象特征：正比例函数$y=kx$的图象是经过原点的直线。已知直线与x轴形成的锐角为$45°$，说明直线上任意非原点的点，纵坐标的绝对值与横坐标的绝对值相等（对应等腰直角三角形两条直角边长度相等）。接下来取特殊值$x=1$代入函数，得到对应的$y$值为$k$，结合绝对值相等的关系列出$|k|=1$，同时注意直线既可以向上倾斜（过一、三象限，$k$为正）也可以向下倾斜（过二、四象限，$k$为负），两种情况均满足夹角为$45°$，最后求解即可。
【解析】
解：
∵正比例函数$y=kx$的图象是经过原点的直线，且直线与x轴所成锐角为$45°$
∴在直线上取$x=1$，代入函数得$y=k$，对应点坐标为$(1,k)$
该点到x轴的距离为$|k|$，到y轴的距离为1
由$45°$角对应的直角三角形为等腰直角三角形，可得纵、横坐标的绝对值相等，即：
$|k|=1$
解得$k=1$或$k=-1$
【答案】
1或-1
【知识点】
正比例函数的图象性质，等腰直角三角形的性质，绝对值的运算
【点评】
本题是正比例函数与几何性质的结合题，解题的关键是抓住$45°$角对应的横、纵坐标绝对值相等的特征，同时要注意$k$的正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 求正比例函数表达式需先明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数，因此需满足两个条件：一次项系数不为0，常数项为0。据此列关于$m$的方程和不等式，求解出$m$后代入原函数即可得到表达式。
(2) 比较$y_1$、$y_2$的大小，先根据第一问的解析式判断比例系数$k$的正负，确定函数的增减性，再比较两个点横坐标的大小，结合增减性即可得出函数值的大小关系。
【解析】
(1) 已知函数$y=(2m+1)x+m-3$是正比例函数，根据正比例函数的定义可得：
$\begin{cases}2m+1≠0\\m-3=0\end{cases}$
解$m-3=0$得$m=3$，代入$2m+1$验证得$2×3+1=7≠0$，符合要求。
将$m=3$代入原函数得：$y=7x$。
(2) 由(1)得函数解析式为$y=7x$，其中$k=7＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大。
比较两个点的横坐标：$a-(a-1)=1＞0$，即$a＞a-1$，结合函数的增减性可得$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) $y=7x$；(2) $y_1＞y_2$
【知识点】
正比例函数的定义，正比例函数的增减性，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查正比例函数的基础概念与性质，解题时需注意正比例函数“常数项为0且一次项系数不为0”的双重限制，结合增减性比较函数值大小是这类题型的常用方法，考查内容较为基础。
【难度系数】
0.9

【分析】
(1) 求解第一问时，先观察图形特征：AC垂直x轴，因此△AOB以AB为底时，高等于OC的长度，也就是点A的横坐标。结合已知的A点坐标和三角形面积，先通过面积公式算出AB的长度，再推导得到B点坐标，最后代入正比例函数解析式即可求出k的值。
(2) 求解第二问时，已知k的值，可设点C的横坐标为m，由于AC垂直x轴，A、B两点的横坐标均为m，分别代入两条正比例函数解析式求出AC和BC的长度，再计算AB的长度，最终求出两条线段的比值即可。
【解析】
(1) 已知点A的坐标为$(2,4)$，$AC⊥x$轴于点C，因此$OC=2$，$AC=4$。
根据三角形面积公式，$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × OC × AB$，代入$S_{△ AOB}=2$、$OC=2$，得：
$2=\frac{1}{2} × 2 × AB$，解得$AB=2$。
因此$BC=AC-AB=4-2=2$，即点B的坐标为$(2,2)$。
将$B(2,2)$代入$y=kx$，得$2=2k$，解得$k=1$。
(2) 当$k=\frac{1}{2}$时，直线OB的解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
设点C的坐标为$(m,0)$（$m＞0$），因为$AC⊥x$轴，所以A、B两点的横坐标均为m。
将$x=m$代入$y=2x$，得$y=2m$，即$AC=2m$；
将$x=m$代入$y=\frac{1}{2}x$，得$y=\frac{1}{2}m$，即$BC=\frac{1}{2}m$。
因此$AB=AC-BC=2m-\frac{1}{2}m=\frac{3}{2}m$，
则$\frac{AB}{BC}=\frac{\frac{3}{2}m}{\frac{1}{2}m}=3$。
【答案】
(1) $k=1$；(2) $\frac{AB}{BC}=3$
【知识点】
正比例函数的性质，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题是正比例函数的典型基础题，解题核心是利用垂直于x轴的直线上所有点横坐标相同的特征，建立点坐标和线段长度的关联，结合面积公式和简单代数运算即可求解，有助于巩固正比例函数图象与性质的相关知识。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 求正比例函数表达式时，由于正比例函数$y=kx$仅含有1个未知参数$k$，只需将函数经过的已知点$A$的坐标代入解析式，解方程求出$k$的值即可得到函数表达式。
(2) 求线段$AB$的长时，已知$∠ OBA=60°$，可通过作辅助线构造直角三角形求解：过点$A$作$AC⊥ x$轴于点$C$，得到$Rt△ ABC$，其中$AC$的长度可由点$A$的坐标直接得到；结合直角三角形两锐角互余可得$∠ BAC=30°$，利用“30°角所对直角边等于斜边的一半”得到$BC$和$AB$的数量关系，再结合勾股定理列方程即可求出$AB$的长度。
【解析】
(1) $\because$ 正比例函数$y=kx(k\ne0)$的图象经过点$A(1,-3)$，
将$x=1$，$y=-3$代入解析式得：$1× k=-3$，
解得$k=-3$，
$\therefore$ 直线$OA$的函数表达式为$y=-3x$。
(2) 如答图，过点$A$作$AC⊥ x$轴于点$C$，
$\because$ 点$A$的坐标为$(1,-3)$，$\therefore AC=|-3|=3$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ OBA=60°$，$\therefore ∠ BAC=90°-60°=30°$，
根据含30°角的直角三角形的性质，得$BC=\frac{1}{2}AB$，
由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
将$AC=3$、$BC=\frac{1}{2}AB$代入得：$3^2+(\frac{1}{2}AB)^2=AB^2$，
整理得$\frac{3}{4}AB^2=9$，即$AB^2=12$，
$\because AB$为线段长度，为正数，$\therefore AB=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 直线$OA$的函数表达式为$\boldsymbol{y=-3x}$；
(2) 线段$AB$的长为$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$。

【知识点】
待定系数法求正比例函数解析式；含30°角的直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题属于正比例函数与几何计算的基础综合题，第一问考查正比例函数解析式的基本求法，是函数部分的基础考点；第二问的核心是通过作高构造特殊直角三角形，将已知角度条件转化为边的数量关系，结合勾股定理求解线段长度，解题思路具有典型性，能帮助学生掌握函数与几何结合类题目的常规解法。
【难度系数】
0.7