【分析】
要判断一个点是否在某函数的图象上，核心依据是：函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式，反之坐标满足解析式的点一定在函数图象上。因此这道题我们可以用代入验证法解题，依次将四个选项中点的横坐标代入正比例函数$y=\frac{1}{3}x$，计算得到对应的y值，若计算结果和点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，否则不在。
【解析】
我们逐一验证四个选项：
1. 验证A选项：把$x=\frac{1}{2}$代入$y=\frac{1}{3}x$，得$y=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，$\frac{1}{6}≠6$，因此点$(\frac{1}{2},6)$不在函数图象上；
2. 验证B选项：把$x=-3$代入$y=\frac{1}{3}x$，得$y=\frac{1}{3}×(-3)=-1$，和点的纵坐标相等，因此点$(-3,-1)$在函数图象上；
3. 验证C选项：把$x=0$代入$y=\frac{1}{3}x$，得$y=\frac{1}{3}×0=0$，$0≠-1$，因此点$(0,-1)$不在函数图象上；
4. 验证D选项：把$x=6$代入$y=\frac{1}{3}x$，得$y=\frac{1}{3}×6=2$，$2≠3$，因此点$(6,3)$不在函数图象上。
综上，只有B选项的点在函数图象上。
【答案】
B
【知识点】
1. 正比例函数的图象
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数的基础常考题，核心考查函数图象和解析式的对应关系，掌握代入验证的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
要判断正比例函数的图象，首先回忆正比例函数的图象性质：首先正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象一定经过坐标原点，其次$k$的符号决定图象经过的象限：$k＞0$时图象过第一、三象限，$k＜0$时图象过第二、四象限。我们可以先根据是否过原点排除不符合的选项，再根据$k$的符号判断象限，选出正确答案。
【解析】
函数$y=\frac{4}{5}x$是正比例函数，正比例函数的图象是过原点$(0,0)$的直线：
1. 先排除不过原点的选项：选项B、C的图象与$y$轴交点的纵坐标不为0，不是过原点的直线，排除B、C；
2. 该函数的比例系数$k=\frac{4}{5}＞0$，因此图象经过第一、三象限，选项D的图象经过第二、四象限，不符合特征，排除D；
3. 选项A的图象过原点，且经过第一、三象限，符合$y=\frac{4}{5}x$的图象特征。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象特征，正比例函数的性质
【点评】
本题考查正比例函数的图象与性质，解题关键是牢记正比例函数图象必过原点，以及比例系数$k$的符号对应图象经过的象限，属于基础概念考查题，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9

【分析】要判断正比例函数y随x的增大的变化情况，核心是确定比例系数k的正负：正比例函数的增减性由k的符号决定，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。已知函数图象经过点(7,-13)，我们可以先将点的坐标代入函数解析式求出k的取值，再根据k的正负判断增减性即可。
【解析】将点$(7,-13)$代入正比例函数解析式$y=kx$，可得：
$-13 = 7k$
解得$k = -\frac{13}{7}$
∵ $k = -\frac{13}{7} ＜ 0$
∴ 根据正比例函数的性质，y的值随x的增大而减小。
【答案】减小
【知识点】正比例函数的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】本题属于基础题，主要考查正比例函数增减性的判断，解题的关键是先利用函数图象上的点满足函数解析式，求出k的正负，再结合正比例函数的性质得出结论。
【难度系数】0.9

【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种常用思路：一是将两个点的横坐标分别代入函数解析式，计算出$y_1$、$y_2$的具体值后直接比较；二是根据正比例函数的增减性，结合两个点横坐标的大小关系判断纵坐标的大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=1$代入$y=-\dfrac{1}{4}x$，得$y_1=-\dfrac{1}{4} ×1=-\dfrac{1}{4}$；
将$x=2$代入$y=-\dfrac{1}{4}x$，得$y_2=-\dfrac{1}{4} ×2=-\dfrac{1}{2}$；
因为$-\dfrac{1}{4} ＞ -\dfrac{1}{2}$，所以$y_1 ＞ y_2$。
方法二：利用正比例函数增减性
正比例函数$y=-\dfrac{1}{4}x$中，比例系数$k=-\dfrac{1}{4} ＜ 0$，因此$y$随$x$的增大而减小；
已知两点横坐标$1 ＜ 2$，所以对应的纵坐标$y_1 ＞ y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
正比例函数的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查正比例函数的基础应用，既可通过代入计算直接比较，也可利用函数增减性快速判断，属于基础题型，熟练掌握函数性质能提高解题效率。
【难度系数】
0.9

【分析】
正比例函数的图象是过原点的直线，根据两点确定一条直线的原理，绘制图象时只需确定图象上的两个点即可，通常优先选取原点$(0,0)$，再选取一个x为正整数、对应y值也为整数的点，便于描点，最后过两点作直线就能得到对应的函数图象。
【解析】
1. 绘制函数$y=2x$的图象：
将$x=0$代入解析式，得$y=2×0=0$，得到点$(0,0)$；
将$x=1$代入解析式，得$y=2×1=2$，得到点$(1,2)$；
在坐标系中描出上述两点，过两点画直线，即为$y=2x$的图象。
2. 绘制函数$y=\frac{1}{2}x$的图象：
将$x=0$代入解析式，得$y=\frac{1}{2}×0=0$，得到点$(0,0)$；
将$x=2$代入解析式，得$y=\frac{1}{2}×2=1$，得到点$(2,1)$；
在坐标系中描出上述两点，过两点画直线，即为$y=\frac{1}{2}x$的图象。
【答案】
对于正比例函数$y=2x$,
当$x=0$时,$y=0$;当$x=1$时,$y=2×1=2$,
即函数$y=2x$的图象经过点$(0,0)$和$(1,2)$,过这两点作直线即为此函数的图象.
对于正比例函数$y=\frac{1}{2}x$,
当$x=0$时,$y=0$;当$x=2$时,$y=\frac{1}{2}×2=1$,
即函数$y=\frac{1}{2}x$的图象经过点$(0,0)$和$(2,1)$,过这两点作直线即为此函数的图象.
画出这两个函数的图象如答图.

【知识点】
正比例函数的图象；两点法作函数图象
【点评】
本题属于函数作图的基础题型，核心考查正比例函数的图象特征和两点作图法的应用，选取坐标为整数的点作图可有效降低描点难度，提升作图准确性。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查正比例函数的图象与性质相关知识，解题思路是逐个验证4个说法的正确性：1. 判断点是否在函数图象上，将点的横坐标代入函数解析式，若计算得到的y值与点的纵坐标相等，则点在图象上，反之不在；2. 结合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的性质，根据$k$的符号判断图象经过的象限、增减性，且所有正比例函数图象都过原点，按此步骤逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 将$x=0$代入$y=-2x$，得$y=-2×0=0$，因此函数图象经过点$(0,0)$，①正确；
② 将$x=-1$代入$y=-2x$，得$y=-2×(-1)=2$，与点$(-1,\dfrac{1}{2})$的纵坐标$\dfrac{1}{2}$不相等，因此该点不在函数图象上，②正确；
③ 函数$y=-2x$是正比例函数，其中比例系数$k=-2＜0$，因此它的图象经过第二、四象限，③正确；
④ 比例系数$k=-2＜0$，根据正比例函数性质，$y$随$x$的增大而减小，④正确。
综上，4个说法都正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象，正比例函数的性质，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，核心考查正比例函数中$k$值对图象和性质的影响，以及判断点是否在函数图象上的基本方法，熟练掌握相关基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9

【分析】
首先回忆正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx$的图象是过原点的直线，当$k＞0$时图象过一、三象限，图象上点的横、纵坐标同号；当$k＜0$时图象过二、四象限，图象上点的横、纵坐标异号。已知两点在不同象限，可先判断$k$的符号，再结合两个点已知的坐标符号，分别推导$m$、$n$的符号即可。
【解析】
∵正比例函数$y=kx$的图象经过不同象限的两点，
∴该函数图象经过第二、四象限，可得$k＜0$。
将点$(m,1)$代入$y=kx$，得$1=km$，
∵$k＜0$，$1＞0$，
∴$m=\frac{1}{k}＜0$。
将点$(2,n)$代入$y=kx$，得$n=2k$，
∵$k＜0$，$2＞0$，
∴$n=2k＜0$。
综上，$m＜0$，$n＜0$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质；正比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题重点考查正比例函数的图象性质应用，解题的核心是先根据两点在不同象限判断$k$的正负，再结合点的已知坐标符号推导未知坐标的符号，属于基础性质应用题。
【难度系数】
0.7