8.已知$y-3$与$2x-1$成正比例，且当$x=1$时，$y=6$.
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式；
(2)已知点$P(m,n)$在该函数的图象上，且$m-n=4$，求点$P$的坐标.
答案：8.解:(1)$\because y-3$ 与 $2x-1$ 成正比例,$\therefore$ 设 $y-3=k(2x-1)$.
$\because$ 当 $x=1$ 时,$y=6$,$\therefore 6-3=k(2×1-1)$,
解得 $k=3$,$\therefore y-3=3(2x-1)$,即 $y=6x$,
$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=6x$.
(2)由题意,得$\begin{cases} n=6m,\\ m-n=4, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=-\dfrac{4}{5},\\ n=-\dfrac{24}{5}, \end{cases}$
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(-\dfrac{4}{5},-\dfrac{24}{5})$.
解析：
【分析】
(1) 遇到两个量成正比例的问题，首先根据正比例的定义设出关系式，本题中y-3与2x-1成正比例，可设y-3=k(2x-1)（k为常数，k≠0）；再将已知的x、y的对应值代入关系式，求出未知系数k，最后整理即可得到y与x的函数表达式。
(2) 点在函数图象上，说明点的坐标满足函数解析式，因此点P(m,n)满足n=6m，再结合已知条件m-n=4，联立两个方程组成方程组，解方程组即可得到m、n的值，进而得到点P的坐标。
【解析】
(1) $\because y-3$与$2x-1$成正比例，
$\therefore$ 设$y-3=k(2x-1)$（$k\ne0$），
把$x=1$，$y=6$代入得：$6-3=k(2×1 - 1)$，
即$3=k×1$，解得$k=3$，
将$k=3$代入所设关系式得：$y-3=3(2x-1)$，
整理得：$y=6x$，
$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=6x$。
(2) $\because$ 点$P(m,n)$在该函数的图象上，
$\therefore n=6m$，
又$\because m-n=4$，
联立得方程组$\begin{cases}n=6m \\ m-n=4 \end{cases}$，
把$n=6m$代入$m-n=4$得：$m-6m=4$，即$-5m=4$，解得$m=-\dfrac{4}{5}$，
将$m=-\dfrac{4}{5}$代入$n=6m$得：$n=6×(-\dfrac{4}{5})=-\dfrac{24}{5}$，
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-\dfrac{4}{5},-\dfrac{24}{5})$。
【答案】
(1) $y=6x$；(2) $(-\dfrac{4}{5},-\dfrac{24}{5})$
【知识点】
正比例的定义；待定系数法求解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是求一次函数解析式的典型基础题，核心考察对正比例概念的理解和待定系数法的运用，同时结合了函数图象上点的坐标与解析式的关系，熟练掌握相关基础概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
9.如图，两摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给出的数据信息，解答下列问题.
(1)若摆放在桌面上的碗的高度 y(cm)与碗个数 x 符合一次函数关系，求 y 与 x 之间的函数表达式；
(2)把这两摞碗整齐地摆成一摞时，这摞碗的高度是多少厘米？
答案：9.解:(1)设 $y=kx+b(k≠0)$.
由题图可知,当 $x=4$ 时,$y=10.5$;
当 $x=7$ 时,$y=15$.
将其分别代入 $y=kx+b$,得$\begin{cases} 10.5=4k+b,\\ 15=7k+b, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=1.5,\\ b=4.5, \end{cases}$
所以 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式是 $y=1.5x+4.5$($x$ 是正整数).
(2)当 $x=4+7=11$ 时,$y=1.5×11+4.5=21$,
即把这两摞碗整齐地摆成一摞时,这摞碗的高度是21 cm.
解析：
【分析】
(1) 题目明确高度y与碗的个数x是一次函数关系，求一次函数表达式可使用待定系数法，先设一次函数一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，再从图中提取两组对应值：4个碗时高度为10.5cm，即$x=4，y=10.5$；7个碗时高度为15cm，即$x=7，y=15$。将两组值代入函数式得到二元一次方程组，求解即可得到k、b的值，确定函数表达式。
(2) 两摞碗摆成一摞时，总碗数为$4+7=11$个，将$x=11$代入第(1)问求得的函数表达式，计算出对应的y值就是这摞碗的高度。
【解析】
(1) 设y与x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
由图中信息可得：当碗的个数$x=4$时，高度$y=10.5$；当碗的个数$x=7$时，高度$y=15$。
将两组对应值代入函数式，得方程组：
$\begin{cases} 10.5=4k+b\\ 15=7k+b \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$3k=4.5$，解得$k=1.5$。
将$k=1.5$代入$10.5=4k+b$，得$10.5=4×1.5 + b$，解得$b=4.5$。
所以y与x之间的函数表达式为$y=1.5x+4.5$（x为正整数）。
(2) 两摞碗总个数为$4+7=11$（个），将$x=11$代入$y=1.5x+4.5$，得：
$y=1.5×11 + 4.5 = 16.5 + 4.5 = 21$（cm）
【答案】
(1) $y=1.5x+4.5$（x是正整数）
(2) 21 cm
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的基础应用题，解题关键是准确从图中提取有效数据，熟练掌握待定系数法求解一次函数解析式，再代入数值计算即可，整体解题思路清晰，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
10.如图所示,在边长为1的正方形ABCD的边上有一个动点P,点P由点A(起点)沿着折线A→B→C→D向点D(终点)移动,设点P移动的路程为x,△DAP的面积为S,试写出S与x的函数表达式.
答案：10.解:当 $0＜x≤1$ 时,点 $P$ 在 $AB$ 边上,$S=\dfrac{1}{2}x$;
当 $1＜x≤2$ 时,点 $P$ 在 $BC$ 边上,$S=\dfrac{1}{2}$;
当 $2＜x＜3$ 时,点 $P$ 在 $CD$ 边上,
$S=\dfrac{1}{2}×1×(3-x)=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$.
综上所述,$S$ 与 $x$ 的函数表达式为
$S=\begin{cases} \dfrac{1}{2}x(0＜x≤1),\\ \dfrac{1}{2}(1＜x≤2),\\ -\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}(2＜x＜3). \end{cases}$
解析：
【分析】
这是动点相关的分段函数问题，解题需先根据点P的运动路径划分三个讨论阶段：①点P在AB边上移动（路程x范围为0到1）；②点P在BC边上移动（路程x范围为1到2）；③点P在CD边上移动（路程x范围为2到3）。每个阶段结合正方形的边长，确定△DAP的底和高，用三角形面积公式分别计算对应面积S，最后整理成分段函数即可，注意明确每个阶段自变量x的取值范围。
【解析】
已知正方形ABCD边长为1，分三种情况讨论：
1. 当$0 ＜ x ≤ 1$时，点P在AB边上，△DAP的底$AP=x$，高$DA=1$，由三角形面积公式得：
$S = \frac{1}{2} × AP × DA = \frac{1}{2}x$；
2. 当$1 ＜ x ≤ 2$时，点P在BC边上，△DAP的底$DA=1$，高等于正方形边长1，面积为定值：
$S = \frac{1}{2} × 1 × 1 = \frac{1}{2}$；
3. 当$2 ＜ x ＜ 3$时，点P在CD边上，△DAP的底长为$3-x$，高$DA=1$，因此：
$S = \frac{1}{2} × (3 - x) × 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$。
综上即可得到S与x的函数表达式。
【答案】
$S=\begin{cases} \dfrac{1}{2}x&(0＜x≤1)\\ \dfrac{1}{2}&(1＜x≤2)\\ -\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}&(2＜x＜3) \end{cases}$
【知识点】
分段函数，三角形面积公式，分类讨论思想
【点评】
本题是动态几何与函数结合的典型题型，核心考查分类讨论的数学思想，解题关键是准确根据动点的位置划分讨论区间，结合几何图形的性质计算对应函数值，要注意各区间自变量的取值范围不要出现错误。
【难度系数】
0.7
