1.如图,在四边形 $ABCD$ 中,$∠ A=∠ C=90°$,$BE$ 平分 $∠ ABC$,$DF$ 平分 $∠ ADC$,则 $BE$ 与 $DF$ 有何位置关系? 试说明理由.
答案：1.解:$BE// DF$.理由如下：
因为$∠ A=∠ C=90°$(已知),
所以$∠ ABC+∠ ADC=180°$.
因为$BE$平分$∠ ABC$,$DF$平分$∠ ADC$,
所以$∠ 1=∠ 2=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ 3=∠ 4=\frac{1}{2}∠ ADC$(角平分线的定义),
所以$∠ 1+∠ 3=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ADC)=\frac{1}{2}×180°=90°$(等式的性质).
又$∠ 1+∠ CEB=90°$,
所以$∠ 3=∠ CEB$(同角的余角相等),
所以$BE// DF$(同位角相等,两直线平行).
2. 如图,点 E,F 分别在 AB,CD 上,AF⊥CE,垂足为 O,∠1=∠B,∠A+∠2=90°.试说明:AB//CD.
答案：2.解:因为$∠ 1=∠ B$(已知),
所以$CE// BF$(同位角相等,两直线平行),
所以$∠ AOE=∠ AFB$(两直线平行,同位角相等).
因为$AF⊥ CE$(已知),
所以$∠ AOE=90°$(垂直的定义),
所以$∠ AFB=90°$(等量代换).
因为$∠ AFC+∠ AFB+∠ 2=180°$(平角的定义),
所以$∠ AFC+∠ 2=90°$(等式的性质),
因为$∠ A+∠ 2=90°$(已知),
所以$∠ AFC=∠ A$(同角的余角相等),
所以$AB// CD$(内错角相等,两直线平行).
