1. 如图,直线 AB 和 CD 相交于点 O,OE⊥CD,∠EOF=142°,∠BOD:∠BOF=1:3,则∠AOF 的度数为
102°
.
答案：1. 102° 点拨:因为 $OE⊥CD$,所以$∠EOD=90°$.
因为$∠EOF=142°$,所以$∠DOF=142°-90°=52°$.
因为$∠BOD:∠BOF=1:3$,所以$∠BOD=\frac{1}{2}∠DOF=26°$,
所以$∠BOF=∠BOD+∠DOF=78°$.
因为$∠AOF+∠BOF=180°$,
所以$∠AOF=180°-∠BOF=180°-78°=102°$.
2. 已知直线 AB 与直线 CD 相交于点 O,过点 O 作 $OE ⊥ CD$.
(1)如图①,若$∠ AOE=2∠ AOC$,求$∠ BOE$的度数;
(2)如图②,过点 O 画直线 FG,满足射线 OF 在$∠ EOD$内部,且使$∠ AOC=2∠ EOF$,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出与$∠ EOF$互余的角.
答案：2. 解:(1)因为 $OE⊥CD$,
所以$∠COE=∠DOE=90°$,
所以$∠AOC+∠AOE=90°$.
因为$∠AOE=2∠AOC$,
所以$∠AOC+2∠AOC=90°$,解得$∠AOC=30°$,
所以$∠BOD=∠AOC=30°$,
所以$∠BOE=∠BOD+∠DOE=30°+90°=120°$.
(2)因为 $OE⊥CD$,所以$∠DOE=90°$,
所以$∠DOF+∠EOF=90°$.
因为$∠COG=∠DOF$,所以$∠COG+∠EOF=90°$.
因为$∠AOE+∠AOC=90°$,$∠AOC=2∠EOF$,
所以$∠AOE+2∠EOF=90°$,
所以$∠AOF+∠EOF=90°$.
因为$∠BOG=∠AOF$,
所以$∠BOG+∠EOF=90°$,
所以与$∠EOF$互余的角有$∠FOD,∠COG,∠BOG,∠AOF$.
