【方法提示】
图形规律
①编序号:将所给的基础图形编序号为$1,2,3,···,n$
②数图形个数:在图形数量变化时,要标记出每组图形的表示个数
③寻找要归纳图形数量与序数$n$之间的关系
④验证:代入序号验证所归纳的式子是否正确
答案：解：
① 编序号：将依次排列的基础图形编为序号1，2，3，…，n。
② 数图形个数：统计各序号对应图形的目标元素数量，标记得到对应数值：
n=1时，对应元素个数为2，
n=2时，对应元素个数为6，
n=3时，对应元素个数为12。
③ 寻找图形数量与序数n的关系：
拆分各组数值：
n=1时，2=1×2，
n=2时，6=2×3，
n=3时，12=3×4，
归纳得到第n个图形的目标元素个数的表达式为n(n+1)。
④ 验证：将n=4代入表达式n(n+1)，计算得结果为20，实际统计第4个图形的目标元素总数为20，与推导结果一致，表达式成立。
最终结论：第n个图形的对应元素总个数为n(n+1)。
1. 观察如图所示的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第$n$个图形中的实心点一共有
$\frac{3n^2+3n}{2}$
个.
答案：1. $\frac{3n^2+3n}{2}$ 点拨:第 1 个图形有 3=3×1=3(个)点，第 2 个图形有 3+6=3×(1+2)=9(个)点，第 3 个图形有 3+6+9=3×(1+2+3)=18(个)点，……第 $n$ 个图形有 3+6+9+…+3n=3×(1+2+3+…+n)=$\frac{3n(n+1)}{2}=\frac{3n^2+3n}{2}$(个)点.
2. 若 $ m_1, m_2, \dots, m_{2025} $ 是从 1,2 这两个数中取值的一列数，$ (m_1 - 1) + (m_2 - 1)^2 + (m_3 - 1)^3 + \dots + (m_{2025} - 1)^{2025} = 1000 $，则在 $ m_1, m_2, \dots, m_{2025} $ 中，取值为1的个数为 ______。
答案：2. 1025 点拨:因为$(m_1-1)+(m_2-1)^2+(m_3-1)^3+\dots+(m_{2025}-1)^{2025}=1000$,所以 $m_1,m_2,\dots,m_{2025}$ 中有 1000 个数取值为 2,所以取值为 1 的个数为 2025-1000=1025.
3.【规律探索】用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片,按如图所示方式拼成长方形.
第①个图形中有 2 张正方形纸片；
第②个图形中有 $2×(1+2)=2+4=6$(张)正方形纸片；
第③个图形中有 $2×(1+2+3)=2+4+6=12$(张)正方形纸片；
第④个图形中有 $2×(1+2+3+4)=2+4+6+8=20$(张)正方形纸片；
……
请你观察上述图形与算式,解答下列问题:
【规律归纳】
(1)第⑦个图形中有
56
张正方形纸片.(直接写出结果)
(2)根据上面的发现,我们可以猜想:$2+4+6+…+2n=$
$n(n+1)$
.(用含$n$的代数式表示)
【规律应用】
(3)根据你发现的规律计算:
①$2+4+6+…+2000$；
②$202+204+206+…+600$.
答案：3. (1)56
(2)$n(n+1)$
(3)解:①$2+4+6+\dots+2000$
$=1000×1001$
$=1001000.$
②$202+204+206+\dots+600$
$=(2+4+6+\dots+600)-(2+4+6+\dots+200)$
$=300×301-100×101$
$=80200.$
