1. 如果$10^{b}=n$，那么$b$为$n$的劳格数，记为$b = d(n)$，由定义可知：$10^{b}=n$与$b = d(n)$表示的是$b,n$两个量之间的同一关系.劳格数有如下运算性质：若$m,n$为正数，则$d(mn)=d(m)+d(n),d(\dfrac{m}{n})=d(m)-d(n)$.根据运算性质，若$d(2)=0.301$，则$d(0.8)$的值是（
A
）
A.$-0.097$
B.$-0.602$
C.$-0.699$
D.$-1.097$
答案：1.A 点拨:若$n=10$,因为$10^{b}=10^{1}$,所以$b=1$,
根据题意,可得
$d(10)=1,d(0.8)=d(\dfrac{2}{10}×4)=d(\dfrac{2}{10})+d(4)$
$=d(2)-d(10)+d(2×2)=d(2)-d(10)+d(2)+d(2)$
$=3d(2)-d(10)=3×0.301-1=0.903-1=-0.097.$
2.(2024·吴江区月考)规定两数$a,b$之间的一种运算,记作$(a,b)$;如果$a^c = b$,那么$(a,b)=c$.例如:因为$2^3=8$,所以$(2,8)=3$.
(1)根据上述规定,填空:$(3,9)=\_\_\_\_\_\_,(\_\_\_\_\_\_,16)=2,(-2,-8)=\_\_\_\_\_\_$.
(2)有同学在研究这种运算时发现一个现象:$(3^n,4^n)=(3,4)$,他给出了如下的说明:
设$(3^n,4^n)=x$,所以$(3^n)^x = 4^n$.
即$(3^x)^n = 4^n$.
因为$3^x＞0$,所以$3^x = 4$,即$(3,4)=x$,
所以$(3^n,4^n)=(3,4)$.
若$(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c$,请你尝试运用上述这种方法说明$a+b=c$.
答案：2.(1)2 $\pm4$ 3
(2)解:因为$(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c$,
所以$4^a=5,4^b=6,4^c=30$,所以$4^a×4^b=30=4^c$,
即$4^{a+b}=4^c$,所以$a+b=c$.
3.我们知道,每个自然数都有因数,将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和,再除以这个自然数所得的商叫作这个自然数的“完美指标”.例如:10的正因数有1,2,5,10,它的正奇数因数是1,5,它的正偶数因数是2,10,所以10的“完美指标”是$[(1+5)-(2+10)]÷10=-\frac{3}{5}$.我们规定:若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小,这个数就越“完美”.例如:因为6的“完美指标”是$[(1+3)-(2+6)]÷6=-\frac{2}{3}$,7没有正偶数因数,7的“完美指标”是$(1+7)÷7=\frac{8}{7}$,且$\left|-\frac{2}{3}\right|＜\left|\frac{8}{7}\right|$,所以6比7更“完美”.
根据上述材料,求出18,19,20,21这四个自然数中最“完美”的数.
答案：3.解:18的正因数有1,2,3,6,9,18,
正奇数因数是1,3,9,正偶数因数是2,6,18,
18的“完美指标”是$[(1+3+9)-(2+6+18)]÷18=-\dfrac{13}{18}$;
19的正因数有1,19,
正奇数因数是1,19,无正偶数因数,
19的“完美指标”是$(1+19)÷19=\dfrac{20}{19}$;
20的正因数有1,2,4,5,10,20,
正奇数因数是1,5,正偶数因数是2,4,10,20,
20的“完美指标”是$[(1+5)-(2+4+10+20)]÷20=-\dfrac{3}{2}$;
21的正因数有1,3,7,21,
正奇数因数是1,3,7,21,无正偶数因数,
21的“完美指标”是$(1+3+7+21)÷21=\dfrac{32}{21}$.
因为$\left|-\dfrac{13}{18}\right|＜\dfrac{20}{19}＜\left|-\dfrac{3}{2}\right|＜\dfrac{32}{21}$,
所以18是18,19,20,21这四个自然数中最“完美”的数.
