1. 建筑工地要用 $ 500 \, \mathrm{m}^3 $ 的沙石，现取这种沙石 $ 1 × 10^{-3} \, \mathrm{m}^3 $，测得其质量为 $ 2.6 \, \mathrm{kg} $，则：
- （1）这种沙石的密度是多大？
- （2）若用载重为 $ 4 \, \mathrm{t} $ 的卡车运送，需要多少辆车？
答案：1．（1）这种沙石的密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{2.6\ \mathrm{kg}}{1 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=2.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
（2）由$\rho=\frac{m}{V}$可得，沙石的总质量$m_{\mathrm{总}}=\rho V_{\mathrm{总}}=2.6 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 500\ \mathrm{m}^3=1.3 × 10^6\ \mathrm{kg}=1300\ \mathrm{t}$，则需运送的车数$n=\frac{m_{\mathrm{总}}}{m_{\mathrm{载}}}=\frac{1300\ \mathrm{t}}{4\ \mathrm{t}}=325$
2. （2024·盐城滨海段考）小华家的晒谷场上有一堆稻谷，体积为 $ 6 \, \mathrm{m}^3 $，为了估测这堆稻谷的质量，他用一只空桶平平地装满一桶稻谷，测得桶中的稻谷的质量为 $ 13.2 \, \mathrm{kg} $，再用这只桶装满一桶水，测得桶中水的质量为 $ 12 \, \mathrm{kg} $，则：
- （1）桶的容积是多少？
- （2）稻谷的密度是多少？
- （3）这堆稻谷的总质量为多少吨？
答案：2．（1）由$\rho=\frac{m}{V}$可得，桶的容积$V_{\mathrm{桶}}=V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{12\ \mathrm{kg}}{1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=0.012\ \mathrm{m}^3$
（2）空桶平平地装满一桶稻谷时，稻谷的体积$V=V_{\mathrm{桶}}=0.012\ \mathrm{m}^3$，稻谷的密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{13.2\ \mathrm{kg}}{0.012\ \mathrm{m}^3}=1.1 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
（3）这堆稻谷的总质量$m_{\mathrm{总}}=\rho V_{\mathrm{总}}=1.1 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 6\ \mathrm{m}^3=6.6 × 10^3\ \mathrm{kg}=6.6\ \mathrm{t}$
3. （2025·无锡模拟）小明在实验室找到一只玻璃瓶，称得其质量为 $ 0.1 \, \mathrm{kg} $，当他将瓶子装满水时测得总质量为 $ 0.4 \, \mathrm{kg} $，若在该瓶中装满金属颗粒，称得总质量为 $ 0.8 \, \mathrm{kg} $，再往瓶中加满水，称得其总质量为 $ 1 \, \mathrm{kg} $。求：$ (\rho_{\mathrm{水}} = 1.0 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3) $
- （1）瓶子的容积。
- （2）金属颗粒的体积。
- （3）金属颗粒的密度。
答案：$(1)$ 求瓶子的容积
解：
- 首先求装满水时水的质量$m_{水1}$：
已知瓶子质量$m_{瓶}=0.1\,\mathrm{kg}$，装满水时总质量$m_{总1}=0.4\,\mathrm{kg}$，根据$m_{水1}=m_{总1}-m_{瓶}$，可得$m_{水1}=0.4\,\mathrm{kg}- 0.1\,\mathrm{kg}=0.3\,\mathrm{kg}$。
- 然后根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$（变形为$V = \frac{m}{\rho}$）求瓶子容积$V_{瓶}$：
因为瓶子装满水时，$V_{瓶}=V_{水1}$，已知$\rho_{水}=1.0×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$，由$V_{水1}=\frac{m_{水1}}{\rho_{水}}$，则$V_{瓶}=\frac{0.3\,\mathrm{kg}}{1.0× 10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}} = 3× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$。
$(2)$ 求金属颗粒的体积
解：
- 先求再加入水的质量$m_{水2}$：
已知装满金属颗粒后总质量$m_{总2}=0.8\,\mathrm{kg}$，再装满水后总质量$m_{总3}=1\,\mathrm{kg}$，则$m_{水2}=m_{总3}-m_{总2}=1\,\mathrm{kg}-0.8\,\mathrm{kg}=0.2\,\mathrm{kg}$。
接着求再加入水的体积$V_{水2}$：
由$\rho=\frac{m}{V}$（变形为$V = \frac{m}{\rho}$），$\rho_{水}=1.0×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$，$V_{水2}=\frac{m_{水2}}{\rho_{水}}=\frac{0.2\,\mathrm{kg}}{1.0× 10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}} = 2× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$。
最后求金属颗粒体积$V_{金}$：
因为$V_{瓶}=V_{金}+V_{水2}$，所以$V_{金}=V_{瓶}-V_{水2}$，$V_{金}=3× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}-2× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}=1× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$。
$(3)$ 求金属颗粒的密度
解：
先求金属颗粒质量$m_{金}$：
已知$m_{总2}=0.8\,\mathrm{kg}$，$m_{瓶}=0.1\,\mathrm{kg}$，$m_{金}=m_{总2}-m_{瓶}=0.8\,\mathrm{kg}-0.1\,\mathrm{kg}=0.7\,\mathrm{kg}$。
再根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$求金属颗粒密度$\rho_{金}$：
$\rho_{金}=\frac{m_{金}}{V_{金}}=\frac{0.7\,\mathrm{kg}}{1× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}} = 7× 10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{3× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}}$；$(2)$$\boldsymbol{1× 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}}$；$(3)$$\boldsymbol{7× 10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}}$。
4. （2024·商洛洛南校级段考）人类在新材料探索的道路上一直进行着不懈努力，世界上密度最小的固体“气凝胶”就是新材料探索的重要成果，该物质的坚固耐用程度不亚于钢材，并且能承受 $ 1100 \, ° \mathrm{C} $ 的高温，而密度只有 $ 3 \, \mathrm{kg/m}^3 $。已知某大型飞机采用现在盛行的超高强度结构钢制造，耗钢 $ 126.4 \, \mathrm{t} $；若采用“气凝胶”代替钢材来制造一架同样大小的飞机，则：$ (\rho_{\mathrm{钢}} = 7.9 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3) $
- （1）该“气凝胶”飞机的体积是多少？
- （2）“气凝胶”飞机的质量比之前减小多少吨？
答案：4．（1）根据题意，钢材的体积等于气凝胶的体积，由$\rho=\frac{m}{V}$得，“气凝胶”飞机的体积$V=V_{\mathrm{钢}}=\frac{m_{\mathrm{钢}}}{\rho_{\mathrm{钢}}}=\frac{126.4 × 1000\ \mathrm{kg}}{7.9 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=16\ \mathrm{m}^3$
（2）“气凝胶”飞机的质量$m=\rho_{\mathrm{气凝胶}}V=3\ \mathrm{kg/m}^3 × 16\ \mathrm{m}^3=48\ \mathrm{kg}=0.048\ \mathrm{t}$，“气凝胶”飞机比之前减小的质量$\Delta m=m_{\mathrm{钢}}-m=126.4\ \mathrm{t}-0.048\ \mathrm{t}=126.352\ \mathrm{t}$
