5. 一场大雪后，在平整地面上有一层厚度均匀的积雪，小华用刻度尺测出水平地面上积雪厚度为 $ 180 \, \mathrm{mm} $，然后他用脚使劲将雪踏实，测出脚踩出的雪坑的深度为 $ 165 \, \mathrm{mm} $，如图所示，已知脚印下的雪由于受外力挤压可近似看成冰层，冰的密度为 $ 0.9 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3 $。求：
- （1）积雪的密度。
- （2）在该地面上 $ 100 \, \mathrm{m}^2 $ 积雪的质量。
答案：5．（1）已知雪的厚度$h_1=180\ \mathrm{mm}=0.18\ \mathrm{m}$，雪坑的深度$h_2=165\ \mathrm{mm}=0.165\ \mathrm{m}$，雪被踩后成为冰，密度是$0.9 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，设脚印的面积为$S$，则雪的体积$V_{\mathrm{雪}}=Sh_1$，冰的体积$V_{\mathrm{冰}}=S(h_1-h_2)$，雪和冰质量不变，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$得$\rho_{\mathrm{雪}}=\frac{V_{\mathrm{冰}}}{V_{\mathrm{雪}}}\rho_{\mathrm{冰}}=\frac{h_1-h_2}{h_1}\rho_{\mathrm{冰}}=\frac{0.18\ \mathrm{m}-0.165\ \mathrm{m}}{0.18\ \mathrm{m}} × \frac{1}{12}$，所以$\rho_{\mathrm{雪}}=\frac{1}{12}\rho_{\mathrm{冰}}=\frac{1}{12} × 0.9 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3=0.075 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
（2）该地面上雪的体积$V'=S'h_1=100\ \mathrm{m}^2 × 0.18\ \mathrm{m}=18\ \mathrm{m}^3$，该地面雪的质量$m'=\rho_{\mathrm{雪}}V'=0.075 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 18\ \mathrm{m}^3=1350\ \mathrm{kg}$
6. （2025·宿迁泗洪期中）小明的父亲外出时买了一个体积为 $ 300 \, \mathrm{cm}^3 $ 铝材料制造的球形艺术品，用天平测得此球的质量是 $ 540 \, \mathrm{g} $。$ (\rho_{\mathrm{铝}} = 2.7 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3) $
- （1）请通过计算说明此球是实心还是空心的。
- （2）若是空心的，则空心部分的体积为多少？
- （3）若在空心部分注满某种液体后，球的总质量为 $ 630 \, \mathrm{g} $，则该液体的密度是多少？
答案：6．（1）铝的密度$\rho_{\mathrm{铝}}=2.7 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3=2.7\ \mathrm{g/cm}^3$，由$\rho=\frac{m}{V}$得，$V_{\mathrm{实心}}=\frac{m}{\rho_{\mathrm{铝}}}=\frac{540\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3}=200\ \mathrm{cm}^3＜300\ \mathrm{cm}^3$，因为$V_{\mathrm{实心}}＜V_{\mathrm{球}}$，所以此球是空心的
（2）$V_{\mathrm{空心}}=V_{\mathrm{球}}-V_{\mathrm{实心}}=300\ \mathrm{cm}^3-200\ \mathrm{cm}^3=100\ \mathrm{cm}^3$
（3）由题可得球中液体的质量$m_{\mathrm{液}}=m_{\mathrm{总}}-m=630\ \mathrm{g}-540\ \mathrm{g}=90\ \mathrm{g}$，铝球的空心部分注满某种液体后，液体的体积$V_{\mathrm{液}}=V_{\mathrm{空心}}=100\ \mathrm{cm}^3$，所以液体的密度$\rho_{\mathrm{液}}=\frac{m_{\mathrm{液}}}{V_{\mathrm{液}}}=\frac{90\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3}=0.9\ \mathrm{g/cm}^3$
7. （2024·南京玄武校级期中）细心的小明发现家中白酒瓶上标有“$ 500 \, \mathrm{mL} $ $ 50\% \, \mathrm{vol} $”字样，他通过查阅资料了解到：$ \mathrm{vol} $ 是表示酒精度数的单位，表示酒精体积与白酒体积的百分比。即“$ 50\% \, \mathrm{vol} $”表示 $ 100 \, \mathrm{mL} $ 白酒中，含有 $ 50 \, \mathrm{mL} $ 的酒精，其余的物质是水。$ (\rho_{\mathrm{酒精}} = 0.8 \, \mathrm{g/cm}^3 $，不考虑体积随温度的变化，不计酒精和水混合后体积的变化）
- （1）求这瓶白酒中酒精的质量。
- （2）求这瓶白酒的密度。
- （3）若将这瓶白酒的酒精度数调整到“$ 40\% \, \mathrm{vol} $”，需要加多少毫升水？
答案：7．（1）根据“$50\%\ \mathrm{vol}$”的含义可知这瓶白酒中含有酒精的体积$V_{\mathrm{酒精}}=500\ \mathrm{mL} × 50\%=250\ \mathrm{mL}=250\ \mathrm{cm}^3$；依据$\rho=\frac{m}{V}$可知，这瓶白酒中酒精的质量$m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}V_{\mathrm{酒精}}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3 × 250\ \mathrm{cm}^3=200\ \mathrm{g}$
（2）这瓶白酒中水的体积$V_{\mathrm{水}}=500\ \mathrm{mL}-250\ \mathrm{mL}=250\ \mathrm{mL}=250\ \mathrm{cm}^3$；水的质量$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3 × 250\ \mathrm{cm}^3=250\ \mathrm{g}$；所以这瓶白酒的总质量$m=m_{\mathrm{酒精}}+m_{\mathrm{水}}=200\ \mathrm{g}+250\ \mathrm{g}=450\ \mathrm{g}$，这瓶白酒的密度$\rho_{\mathrm{白酒}}=\frac{m}{V}=\frac{450\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=0.9\ \mathrm{g/cm}^3$
（3）若将这瓶白酒的酒精度数调整到“$40\%\ \mathrm{vol}$”，则白酒的体积$V'_{\mathrm{白酒}}=\frac{V_{\mathrm{酒精}}}{40\%}=\frac{250\ \mathrm{mL}}{40\%}=625\ \mathrm{mL}$；还需要加水的体积$V_{\mathrm{加水}}=V'_{\mathrm{白酒}}-V_{\mathrm{白酒}}=625\ \mathrm{mL}-500\ \mathrm{mL}=125\ \mathrm{mL}$
