1. (1)若 $2^{2m + 3}-2^{2m + 1}=192$，则 $m$ 的值为
$\frac{5}{2}$
；
(2)化简：$a + 1 + a(a + 1)+a(a + 1)^2+··· + a(a + 1)^{99}=$
$(a + 1)^{100}$
。
答案：1. (1) $\frac{5}{2}$ (2) $(a + 1)^{100}$
解析：
1. (1) $2^{2m+3}-2^{2m+1}=2^{2m+1}(2^2 - 1)=3×2^{2m+1}=192$，则$2^{2m+1}=64=2^6$，所以$2m+1=6$，解得$m=\frac{5}{2}$；
(2) 设$S = a + 1 + a(a + 1) + a(a + 1)^2 + ··· + a(a + 1)^{99}$，则$(a + 1)S=(a + 1)^2 + a(a + 1)^2 + ··· + a(a + 1)^{100}$，两式相减得$(a + 1)S - S = a(a + 1)^{100} - (a + 1)$，即$aS=(a + 1)[a(a + 1)^{99} - 1]$，当$a≠0$时，$S=(a + 1)^{100} - \frac{a + 1}{a}$，但当$a = 0$时，$S=1=(0 + 1)^{100}$，综上$S=(a + 1)^{100}$。
2. 已知 $x,y$ 满足 $(x + y)^2 = 7$，$(x - y)^2 = 39$，求 $x^3y + xy^3$ 的值。
答案：2. 解:因为 $(x + y)^2 = 7$，$(x - y)^2 = 39$，所以 $(x + y)^2 - (x - y)^2 = -32$，
所以 $x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = -32$，故 $4xy = -32$，
$xy = -8$，所以 $x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2) = xy[(x + y)^2 - 2xy] = -8×(7 + 16) = -184$。
3. 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片若干张，如图①，A 型卡片是边长为 $a$ 的正方形，B 型卡片是边长为 $b$ 的正方形，C 型卡片是长和宽分别为 $a,b$ 的长方形。
(1)选取 1 张 A 型卡片，2 张 C 型卡片，1 张 B 型卡片，在纸上按照图②的方式拼成一个长为 $(a + b)$ 的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
；
(2)请用这 3 种卡片拼出一个面积为 $a^2 + 5ab + 6b^2$ 的长方形(数量不限)，在图③的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图②的方式标注好长方形的长与宽；
(3)选取 1 张 A 型卡片，4 张 C 型卡片按图④的方式不重叠地放在长方形 $DEFG$ 框架内，图中两阴影部分(长方形)为没有放置卡片的部分。已知 $GF$ 的长度固定不变，$DG$ 的长度可以变化，图中两阴影部分(长方形)的面积分别表示为 $S_1,S_2$。若 $S = S_2 - S_1$，则当 $a$ 与 $b$ 满足
$a = 2b$
时，$S$ 为定值，且定值为
$a^2$
。(用含 $a$ 或 $b$ 的代数式表示)
答案：3. (1) $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
(2) 解:如答图。
(3) $a = 2b$ $a^2$
