1. (1)分解因式:$x^{4}+4=$
$(x^{2}-2x + 2)(x^{2}+2x + 2)$
;
(2)计算:$1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+5^{2}-6^{2}+... +99^{2}-100^{2}=$
-5050
;
(3)已知$m^{2}+2m=1$,则代数式$2m^{3}+5m^{2}+2023=$
2024
;
(4)已知有理数$x,y,z$满足$x+y=5$及$z^{2}=xy+y-9$,则$x+2y+3z=$
8
.
答案：1. (1) $(x^{2}-2x + 2)(x^{2}+2x + 2)$
点拨:原式 $=x^{4}+4 + 4x^{2}-4x^{2}=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}=(x^{2}-2x + 2)(x^{2}+2x + 2)$
(2) $-5050$ 点拨:原式 $(1 - 2)(1 + 2)+(3 - 4)(3 + 4)+(5 - 6)(5 + 6)+···+(99 - 100)(99 + 100)=-1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6-···-99 - 100=-5050$
(3) $2024$ 点拨: $2m^{3}+5m^{2}+2023 = 2m^{3}+4m^{2}+m^{2}+2023 = 2m(m^{2}+2m)+m^{2}+2023$,因为 $m^{2}+2m = 1$,所以原式 $=2m + m^{2}+2023 = 1+2023 = 2024$
(4) $8$ 点拨:因为 $x + y = 5,z^{2}=xy + y - 9$,所以 $x = 5 - y$,代入 $z^{2}=xy + y - 9$,得 $z^{2}=(5 - y)y + y - 9$,所以 $z^{2}+(y - 3)^{2}=0$,所以 $z = 0,y - 3 = 0$,所以 $y = 3,x = 5 - 3 = 2$,所以 $x + 2y + 3z = 2+2×3+3×0 = 8$
2. 阅读材料:若一个正整数$x$能表示成$a^{2}-b^{2}$($a,b$是正整数,且$a＞b$)的形式,则称这个数为“弘毅数”，$a$与$b$是$x$的一个平方差分解.例如,因为$5=3^{2}-2^{2}$,所以$5$是“弘毅数”,$3$与$2$是$5$的平方差分解;再如,$M=x^{2}+2xy=x^{2}+2xy+y^{2}-y^{2}=(x+y)^{2}-y^{2}$($x,y$是正整数),所以$M$也是“弘毅数”,$(x+y)$与$y$是$M$的一个平方差分解.
(1)判断:$9$
是
“弘毅数”;(填“是”或“不是”)
(2)已知$(x^{2}+y)$与$x^{2}$是$P$的一个平方差分解,求$P$;
(3)已知$N=x^{2}-y^{2}+4x-6y+k$($x,y$是正整数,$k$是常数,且$x＞y+1$),要使$N$是“弘毅数”,试求出符合条件的一个$k$值,并说明理由.
答案：2. (1) 是 点拨:因为 $9 = 5^{2}-4^{2}$,所以 $9$ 是“弘毅数”
(2) 解:因为 $(x^{2}+y)$ 与 $x^{2}$ 是 $P$ 的一个平方差分解,所以 $P=(x^{2}+y)^{2}-(x^{2})^{2}=x^{4}+2x^{2}y + y^{2}-x^{4}=2x^{2}y + y^{2}$
(3) 解:当 $k = - 5$ 时,$N$ 为“弘毅数”,理由如下:
因为 $N = x^{2}-y^{2}+4x - 6y + k=(x^{2}+4x + 4)-(y^{2}+6y + 9)+k + 5=(x + 2)^{2}-(y + 3)^{2}+k + 5$
所以当 $k + 5 = 0$ 时,$N=(x + 2)^{2}-(y + 3)^{2}$ 为“弘毅数”,此时 $k = - 5$
故当 $k = - 5$ 时,$N$ 为“弘毅数”
3. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.如图,这个三角形的构造法则是两腰上的数都是$1$,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了$(a+b)^{n}$($n$为正整数)的展开式(按$a$的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中,第三行的三个数$1,2,1$恰好对应$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$展开式中的系数;第四行的四个数$1,3,3,1$恰好对应$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$展开式中的系数.
(1)$(a+b)^{6}$的展开式中的最大系数是
20
;
(2)请写出$(a+2b)^{4}$的展开式;
(3)请根据上面的规律计算$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2-1$的值.
答案：3. (1) $20$
(2) 解: $(a + 2b)^{4}=a^{4}+4a^{3}·2b + 6a^{2}·(2b)^{2}+4a·(2b)^{3}+(2b)^{4}=a^{4}+8a^{3}b + 24a^{2}b^{2}+32ab^{3}+16b^{4}$
(3) 解:原式 $=2^{5}+5×2^{4}×(-1)+10×2^{3}×(-1)^{2}+10×2^{2}×(-1)^{3}+5×2×(-1)^{4}+(-1)^{5}=(2 - 1)^{5}=1$
