1. 下列计算正确的是(
D
)
A.$\frac{1}{8x}+\frac{1}{8y}=\frac{1}{8(x + y)}$
B.$\frac{y}{x}+\frac{y}{z}=\frac{2y}{xz}$
C.$\frac{x}{2y}+\frac{x - 1}{2y}=\frac{1}{2y}$
D.$\frac{1}{x - y}+\frac{1}{y - x}=0$
答案：1. D
2. (1)化简$\frac{x^{2}}{x - 2}-\frac{2x}{x - 2}$的结果是
$ x $
；
(2)化简$\frac{x}{x - 1}-1$的结果为
$ \frac{1}{x - 1} $
。
答案：2. (1) $ x $ (2) $ \frac{1}{x - 1} $
解析：
(1) $\frac{x^{2}}{x - 2}-\frac{2x}{x - 2}=\frac{x^{2}-2x}{x - 2}=\frac{x(x - 2)}{x - 2}=x$；
(2) $\frac{x}{x - 1}-1=\frac{x}{x - 1}-\frac{x - 1}{x - 1}=\frac{x-(x - 1)}{x - 1}=\frac{1}{x - 1}$
3. 将※换成一个分式，使等式※$-\frac{1}{k - 1}=\frac{k}{k - 1}$成立，※应该是
$ \frac{k + 1}{k - 1} $
。
答案：3. $ \frac{k + 1}{k - 1} $
4. 计算：
(1)$\frac{x + 4}{x^{2}+3x}-\frac{1}{3x + x^{2}}$；
(2)$1+\frac{1}{x - 3}+\frac{1 - x}{3 - x}$；
(3)$\frac{1}{x - 1}+\frac{x^{2}-3x}{x^{2}-1}$；
(4)$\frac{2x^{2}}{x + y}-x + y$。
答案：4. 解：(1) 原式 $ = \frac{x + 4 - 1}{x^{2} + 3x} = \frac{x + 3}{x(x + 3)} = \frac{1}{x} $
(2) 原式 $ = \frac{x - 3 + 1 - 1 + x}{x - 3} = \frac{2x - 3}{x - 3} $
(3) 原式 $ = \frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{x^{2} - 3x}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x^{2} - 2x + 1}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} $
(4) 原式 $ = \frac{2x^{2}}{x + y} - (x - y) = \frac{2x^{2}}{x + y} - \frac{(x + y)(x - y)}{x + y} = \frac{2x^{2} - x^{2} + y^{2}}{x + y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y} $
5. (2024·淮安期末)已知$\frac{
y}{
x}-\frac{x}{y}=5$，那么$\frac{
3x^{2}+xy - 3y^{2}}{2x^{2}-xy - 2y^{2}}=$
$ \frac{14}{11} $
。
答案：5. $ \frac{14}{11} $
解析：
设$\frac{y}{x}=t$，则$\frac{x}{y}=\frac{1}{t}$。
由$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=5$，得$t - \frac{1}{t}=5$，两边同乘$t$，$t^2 - 1 = 5t$，即$t^2 - 5t - 1 = 0$，$t^2 = 5t + 1$。
$\frac{3x^2 + xy - 3y^2}{2x^2 - xy - 2y^2}$分子分母同除以$x^2$，得$\frac{3 + \frac{y}{x} - 3(\frac{y}{x})^2}{2 - \frac{y}{x} - 2(\frac{y}{x})^2}=\frac{3 + t - 3t^2}{2 - t - 2t^2}$。
将$t^2 = 5t + 1$代入，分子：$3 + t - 3(5t + 1)=3 + t - 15t - 3=-14t$；分母：$2 - t - 2(5t + 1)=2 - t - 10t - 2=-11t$。
所以原式$=\frac{-14t}{-11t}=\frac{14}{11}$。
$\frac{14}{11}$
6. 已知$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，且$a≠ - b$，则$\frac{ab - a}{a + b}$的值为
1
。
答案：6. 1
解析：
由$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$，通分得$\frac{b + 2a}{ab} = 1$，即$b + 2a = ab$，移项得$ab - 2a = b$，则$ab - a = a + b$。
因为$a ≠ -b$，所以$a + b ≠ 0$，故$\frac{ab - a}{a + b} = \frac{a + b}{a + b} = 1$。
1
7. 已知$A$，$B$为实数，且$\frac{2x - 5}{(x - 1)(x + 3)}=\frac{A}{x - 1}+\frac{B}{x + 3}$，则$A + B=$
2
。
答案：7. 2
解析：
解：$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3} = \frac{A(x + 3) + B(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A - B)}{(x - 1)(x + 3)}$
由题意得：$\begin{cases}A + B = 2 \\ 3A - B = -5\end{cases}$
解得：$A = -\frac{3}{4}$，$B = \frac{11}{4}$
$A + B = -\frac{3}{4} + \frac{11}{4} = 2$
2
