8. 计算：
(1)$\frac{x^{2}}{(x + y)^{2}}+\frac{2y^{2}}{(y + x)^{2}}-\frac{y^{2}-2xy}{(-x - y)^{2}}$；
(2)$\frac{x^{2}-4x + 4}{x^{2}-4}+\frac{x - 2}{x^{2}+2x}+2$；
(3)$\frac{a}{a + 2}+\frac{a}{2 - a}+\frac{3a - 2}{a^{2}-4}$；
(4)$x + 2y+\frac{4y^{2}}{x - 2y}+\frac{4x^{2}y}{4y^{2}-x^{2}}$。
答案：8. 解：(1) 原式 $ = \frac{x^{2} + 2y^{2} - y^{2} + 2xy}{(x + y)^{2}} = \frac{(x + y)^{2}}{(x + y)^{2}} = 1 $
(2) 原式 $ = \frac{(x - 2)^{2}}{(x + 2)(x - 2)} + \frac{x - 2}{x(x + 2)} + 2 = \frac{x - 2}{x + 2} + \frac{x - 2}{x(x + 2)} + 2 = \frac{x(x - 2)}{x(x + 2)} + \frac{x - 2}{x(x + 2)} + \frac{2x(x + 2)}{x(x + 2)} = \frac{x^{2} - 2x + x - 2 + 2x^{2} + 4x}{x(x + 2)} = \frac{3x^{2} + 3x - 2}{x^{2} + 2x} $
(3) 原式 $ = \frac{a(a - 2) - a(a + 2) + 3a - 2}{(a + 2)(a - 2)} = \frac{-(a + 2)}{(a + 2)(a - 2)} = -\frac{1}{a - 2} $
(4) 原式 $ = \frac{x^{2} - 4y^{2} + 4y^{2}}{x - 2y} - \frac{4x^{2}y}{(x + 2y)(x - 2y)} = \frac{x^{2}(x + 2y) - 4x^{2}y}{(x + 2y)(x - 2y)} = \frac{x^{2}(x - 2y)}{(x + 2y)(x - 2y)} = \frac{x^{2}}{x + 2y} $
9. (2024·鼓楼区四校期中)阅读材料：
在处理分数和分式的问题时，我们常采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效。将分式分离常数可类比假分数化成带分数的方法进行，如$\frac{
x^{
2}-2x + 3}{x -
1}=\frac{x(x - 1)-x + 3}{x - 1}=x+\frac{-(x - 1)+2}{x - 1}=x - 1+\frac{2}{x - 1}$，这样，分式就拆分成了一个分式$\frac{2}{x - 1}$与一个整式$x - 1$的和的形式。
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)将下列分式化为一个整式与一个分式(此分式的分子为整数)的和的形式：
①$\frac{x + 5}{x + 4}=$
$ 1 + \frac{1}{x + 4} $
；②$\frac{2x^{2}-4x + 1}{x - 2}=$
$ 2x + \frac{1}{x - 2} $
。
(2)利用分离常数法，求分式$\frac{-2x^{2}+3}{x^{2}+1}$的最大值。
(3)已知$P = x + 2$，$Q=\frac{8x}{x + 2}$，设$y=\frac{4}{P}-\frac{Q}{12}$，若$x$，$y$均为非零整数，求$xy$的值。
答案：9. (1) $ 1 + \frac{1}{x + 4} $ $ 2x + \frac{1}{x - 2} $
(2) 解：$ \frac{-2x^{2} + 3}{x^{2} + 1} = \frac{-2(x^{2} + 1) + 5}{x^{2} + 1} = \frac{-2(x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} = -2 + \frac{5}{x^{2} + 1} $
∵ $ x^{2} ≥ 0 $，当 $ x = 0 $ 时，分式 $ \frac{-2x^{2} + 3}{x^{2} + 1} $ 中分母不为零，有意义，且分式的值最大，
∴ $ \frac{-2x^{2} + 3}{x^{2} + 1} $ 的最大值为 $ -2 + \frac{5}{0 + 1} = -2 + 5 = 3 $
(3) 解：
∵ $ y = \frac{4}{P} - \frac{Q}{12} $，$ P = x + 2 $，$ Q = \frac{8x}{x + 2} $，
∴ $ y = \frac{4}{P} - \frac{Q}{12} = \frac{4}{x + 2} - \frac{8x}{12(x + 2)} = \frac{12 - 2x}{3(x + 2)} = \frac{-2(x + 2) + 16}{3(x + 2)} = -\frac{2}{3} + \frac{16}{3(x + 2)} $
∵ $ x $，$ y $ 均为非零整数，
∴ 当 $ x = -3 $ 时，$ y = -6 $，此时 $ xy = 18 $，
当 $ x = -6 $ 时，$ y = -2 $，此时 $ xy = 12 $，
当 $ x = -18 $ 时，$ y = -1 $，此时 $ xy = 18 $，
综上所述，$ xy $ 的值为 18 或 12。
