证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$OA=OB=OC=OD$（矩形对角线相等且互相平分），故④不符合题意。
①若$AC⊥BD$，则矩形$ABCD$是正方形（对角线互相垂直的矩形是正方形）；
②若$AB=BC$，则矩形$ABCD$是正方形（邻边相等的矩形是正方形）；
③若$∠ACB=45^{\circ}$，则$∠BAC=45^{\circ}$，$AB=BC$，矩形$ABCD$是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
综上，能使矩形$ABCD$是正方形的条件是①②③。
答案：B

在图①菱形中，连接对角线$AC$，$BD$交于点$O$。
∵菱形四边相等，$∠ B = 60°$，
∴$△ ABC$为等边三角形，$AB = AC = 1\ \mathrm{dm}$。
在图②正方形中，边长$AB = 1\ \mathrm{dm}$，
根据勾股定理，对角线$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
$\sqrt{2}$

证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AC = BD = 2$，且 $O$ 为 $AC$、$BD$ 中点，
∴ $OD = \frac{1}{2}BD = 1$，$OC = \frac{1}{2}AC = 1$。
∵ $DE // AC$，$CE // BD$，
∴ 四边形 $DOCE$ 是平行四边形。
又
∵ $OD = OC = 1$，
∴ 平行四边形 $DOCE$ 是菱形。
∴ 四边形 $DOCE$ 的周长为 $4 × OD = 4 × 1 = 4$。
4

解：设点$E(a,0)$，$F(0,b)$，则$P(\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2})$。
因为$EF = 5$，所以$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=5$，即$a^{2}+b^{2}=25$。
由于$PG⊥ BC$，$PH⊥ CD$，可得$G(8,\dfrac{b}{2})$，$H(\dfrac{a}{2},6)$。
则$GH=\sqrt{(8 - \dfrac{a}{2})^{2}+(6 - \dfrac{b}{2})^{2}}$，化简得$GH=\dfrac{1}{2}\sqrt{(16 - a)^{2}+(12 - b)^{2}}$。
设$Q(16,12)$，$EF$上一点$M(a,b)$，则$GH=\dfrac{1}{2}QM$。
当$QM⊥ EF$时，$QM$最小，此时$QM=\sqrt{16^{2}+12^{2}} - 5=15$。
所以$GH$的最小值为$\dfrac{1}{2}×15 = 7.5$。
7.5