2026年启东中学作业本八年级数学下册江苏版第63页解析答案

3. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为直线 AB 上的动点(点 E 不与点 A，B 重合)，作射线 DE 并绕点 D 逆时针旋转 45°，交直线 BC 于点 F，连接 EF.
(1)探究：当点 E 在边 AB 上时，求证：EF = AE + CF.
(2)应用：①当点 E 在边 AB 上，且 AD = 2 时，△BEF 的周长是

；
②当点 E 不在边 AB 上时，EF，AE，CF 三者的数量关系是

EF = CF - AE 或 EF = AE - CF

答案：
(1) 证明: 如答图, 延长 $ BA $ 到点 $ G $, 使 $ AG = CF $, 连接 $ DG $.
$\because$ 四边形 $ ABCD $ 是正方形,
$\therefore DA = DC, ∠ DAB = ∠ DCF = 90^{\circ}, \therefore ∠ DAG = 90^{\circ} $,

$\therefore △ DAG ≌ △ DCF (\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ GDA = ∠ FDC, DG = DF $.
$\because ∠ ADC = 90^{\circ}, ∠ EDF = 45^{\circ} $,
$\therefore ∠ EDG = ∠ ADG + ∠ ADE = ∠ FDC + ∠ ADE = 45^{\circ} $.
在 $ △ DEG $ 和 $ △ DEF $ 中, $ \{ \begin{array} { l } { DE = DE }, \\ { ∠ EDG = ∠ EDF }, \\ { DG = DF }, \end{array} $
$\therefore △ DEG ≌ △ DEF (\mathrm{SAS})$,
$\therefore EF = EG = AE + AG = AE + CF $.
(2) ① $ 4 $
② $ EF = CF - AE $ 或 $ EF = AE - CF $

4. 如图，P 是正方形 ABCD 内一点，PA = 1，PB = 2，PC = 3，将△ABP 绕点 B 按顺时针方向旋转到与△CBQ 重合，连接 PQ.
求：(1)PQ 的长；
(2)∠APB 的度数.

答案：解: (1) $\because$ 四边形 $ ABCD $ 是正方形, $\therefore ∠ ABC = 90^{\circ} $.
$\because △ ABP ≌ △ CBQ, \therefore ∠ ABP = ∠ CBQ $,
$\therefore ∠ PBQ = ∠ ABC = 90^{\circ} $.
$\because PB = BQ = 2, \therefore PQ = \sqrt{PB^{2} + BQ^{2}} = \sqrt{8} $.
(2) 由旋转得 $ QC = PA = 1 $,
在 $ △ QPC $ 中, $ (\sqrt{8})^{2} + 1^{2} = 3^{2} $,
即 $ PQ^{2} + QC^{2} = PC^{2} $,
$\therefore △ QPC $ 为直角三角形, $ ∠ PQC = 90^{\circ} $.
$\because △ PBQ $ 是等腰直角三角形, $\therefore ∠ BQP = 45^{\circ} $,
$\therefore ∠ APB = ∠ BQC = ∠ BQP + ∠ PQC = 45^{\circ} + 90^{\circ} = 135^{\circ} $.