答案：
解: (1) 四边形 $ BE'FE $ 是正方形. 理由如下:
$\because$ 将 $ \mathrm{Rt} △ ABE $ 绕点 $ B $ 按顺时针方向旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ △ CBE' $,
$\therefore ∠ AEB = ∠ CE'B = 90^{\circ}, BE = BE', ∠ BEB' = 90^{\circ} $.
$\because ∠ BEF = 90^{\circ}, \therefore$ 四边形 $ BE'FE $ 是正方形.
(2) $ CF = FE' $. 理由如下:
如答图①, 过点 $ D $ 作 $ DH ⊥ AE $ 于点 $ H $.

$\because DA = DE, DH ⊥ AE$,
$\therefore AH = \frac{1}{2}AE, ∠ ADH + ∠ DAH = 90^{\circ} $.
$\because$ 四边形 $ ABCD $ 是正方形, $\therefore AD = AB, ∠ DAB = 90^{\circ} $,
$\therefore ∠ DAH + ∠ BAE = 90^{\circ}, \therefore ∠ ADH = ∠ BAE $.
$\because DA = AB, ∠ AHD = ∠ BEA = 90^{\circ} $,
$\therefore △ ADH ≌ △ BAE (\mathrm{AAS})$,
$\therefore AH = HE = BE = \frac{1}{2}AE $.
由(1) 可知四边形 $ BE'FE $ 是正方形, $\therefore BE = E'F $,
$\therefore E'F = \frac{1}{2}AE $.
$\because$ 将 $ \mathrm{Rt} △ ABE $ 绕点 $ B $ 按顺时针方向旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ △ CBE' $,
$\therefore AE = CE', \therefore E'F = \frac{1}{2}CE', \therefore CF = FE' $.
(3) 作 $ DG ⊥ AE $ 于点 $ G $, 如答图②.
由(2) 可知, $ \mathrm{Rt} △ AEB ≌ \mathrm{Rt} △ DGA $,
由将 $ \mathrm{Rt} △ ABE $ 绕点 $ B $ 按顺时针方向旋转 $ 90^{\circ} $ 得 $ \mathrm{Rt} △ CBE' $ 可知, $ \mathrm{Rt} △ AEB ≌ \mathrm{Rt} △ CE'B $,

$\therefore \mathrm{Rt} △ DGA ≌ \mathrm{Rt} △ CE'B, \therefore DG = AE = CE' $.
$\because S_{△ ADE} = \frac{1}{2} DG · AE = 72 $,
设 $ AE = x $, 则 $ DG = \frac{144}{x} $,
$\therefore$ 由 $ AE = DG $, 得 $ x = \frac{144}{x} $, 解得 $ x = 12 $,
$\therefore DG = AE = CE' = 12 $.
在 $ \mathrm{Rt} △ CBE' $ 中, $ BE' = \sqrt{BC^{2} - CE'^{2}} = \sqrt{15^{2} - 12^{2}} = 9 $.
$\because$ 四边形 $ BE'FE $ 是正方形, $\therefore BE' = E'F = 9 $,
$\therefore CF = CE' - E'F = 12 - 9 = 3 $.

答案：(1) 证明: $\because ∠ AEF = 90^{\circ}, \therefore ∠ AEB + ∠ GEF = 90^{\circ} $.
又 $\because$ 四边形 $ ABCD $ 是正方形, $\therefore ∠ ABE = 90^{\circ} $,
$\therefore ∠ AEB + ∠ BAE = 90^{\circ}, \therefore ∠ GEF = ∠ BAE $.
又 $\because FG ⊥ BC, \therefore ∠ EGF = 90^{\circ} $.
在 $ △ ABE $ 和 $ △ EGF $ 中, $ \{ \begin{array} { l } { ∠ ABE = ∠ EGF }, \\ { ∠ BAE = ∠ GEF }, \\ { AE = EF }, \end{array} $
$\therefore △ ABE ≌ △ EGF (\mathrm{AAS})$.
(2) 解: 由(1) 知 $ △ ABE ≌ △ EGF $,
$\therefore AB = EG, BE = GF $.
设 $ EC = x $, 则 $ BE = GF = 2EC = 2x $.
$\because S_{△ ECF} = 4, \therefore \frac{1}{2} x · 2x = 4 $, 解得 $ x = 2 $ (负值已舍去),
$\therefore AB = BC = 3x = 6 $.
(3) 解: $ △ FCG $ 是等腰直角三角形. 理由如下:
$\because BC = AB = EG, \therefore BE = CG, \therefore CG = FG $.
又 $\because ∠ EGF = 90^{\circ}, \therefore △ FCG $ 是等腰直角三角形.