答案：
解:(1)△AMN是等边三角形.证明:如答图,连接AC.

∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D=60°,AB=BC=CD=AD,
∴△ABC,△ACD都是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,∠ACN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM≌△CAN(ASA),
∴AM=AN.
∵∠MAN=60°,
∴△AMN是等边三角形.
(2)△CMN的面积存在最大值,理由如下:
∵△BAM≌△CAN,
∴$S_{△ BAM}=S_{△ CAN},$
∴$S_{四边形AMCN}=S_{△ AMC}+S_{△ ANC}=S_{△ AMC}+S_{△ BAM}=S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3},$
∴四边形AMCN的面积不发生变化,
∴当△AMN的面积最小时,△CMN的面积最大.
∵△AMN是等边三角形,
根据垂线段最短可知,当AM⊥BC时,AM的值最小,△AMN的面积最小,
此时$S_{△ AMN}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$
∴△CMN的面积的最大值为$\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$

答案：
解:(1)如答图所示,OD即为所求.
(2)如答图,连接PA,PC,PB,延长CB交OD于点P',连接AP'.
∵四边形OABC是菱形,∠OCB=60°,
∴AO=AB=OC=BC,
∠OAB=∠OCB=60°,
∴△OAB,△OBC都是等边三角形,
∴OA=OB.
∵OD平分∠AOB,
∴OD⊥AB,AD=DB,
∴PA=PB,
∴PC - PA=PC - PB≤BC,
∴当点P与点P'重合时,|PC - PA|取最大值.
∵∠COB=60°,∠DOB=30°,
∴∠COP'=90°.
∵OC=OB=6,∠OCP'=60°,
∴$OP'=6\sqrt{3},$
∴当|PC - PA|取最大值时,OP的长为$6\sqrt{3}$
(3)
∵∠EBF=∠OBC=60°,
∴∠OBE=∠CBF.
∵∠BOE=∠C=60°,BO=BC,
∴△BOE≌△BCF(ASA),
∴OE=CF,BE=BF,
∴OE+OF=CF+FO=OC=6,
∴BE+BF的值最小时,四边形OEBF的周长最小.
根据垂线段最短可知,当BE⊥OA,BF⊥OC时,BE+BF的值最小,为$6\sqrt{3}$此时满足∠EBF=60°,
∴四边形OEBF周长的最小值为$6+6\sqrt{3}$