2026年启东中学作业本八年级数学下册江苏版第54页解析答案

1. 在 $ □ ABCD $ 中，$ AD = 2AB $，$ ∠ B = 60^{\circ} $，$ E $，$ F $ 分别为边 $ AD $，$ BC $ 的中点. 请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1) 在图①中画一个以 $ A $，$ C $ 为顶点的菱形；
(2) 在图②中画一个以 $ B $，$ C $ 为顶点的矩形.

答案：
解:(1)如答图①所示.
(2)如答图②所示.

2. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，$ ∠ B = 60^{\circ} $，延长 $ BC $ 至点 $ E $，使 $ CE = \frac{1}{2}BC $. 取 $ CD $ 的中点 $ F $，连接 $ EF $，请利用无刻度的直尺按下列要求作图(保留画图痕迹).
(1) 在图①中作出 $ △ CEF $ 中 $ CF $ 边上的中线；
(2) 在图②中作出 $ BC $ 的中点.

答案：
解:(1)如答图①所示,EG即为△CEF中CF边上的中线.
(2)如答图②所示，N即为BC的中点.

3. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，$ ∠ BAD = 60^{\circ} $，在 $ ∠ ABC $ 内作射线 $ BM $，作点 $ C $ 关于 $ BM $ 的对称点 $ E $，连接 $ AE $ 并延长交 $ BM $ 于点 $ F $，连接 $ CF $，$ CE $，$ BE $.
(1) 求证：$ △ CEF $ 是等边三角形；
(2) 若 $ ∠ BAF = 45^{\circ} $，$ AE = 5 $，求 $ BF $ 的长.

答案：
(1)证明:如答图,作BG⊥AE于点G.设CE交BM于点N.

∵点E,C关于BM对称,
∴BC=BE,FE=FC,
∴BM垂直平分CE,
∴∠BNE=90°,∠3=∠4.
∵在菱形ABCD中,AB=BC,∠BAD=60°,
∴AB=BE,∠ABC=120°.
又
∵BG⊥AE,
∴∠1=∠2,∠BGE=90°,
∴$∠2+∠3=\frac{1}{2}∠ABC=60°,$
∴在四边形BNEG中,∠NEG=360°-90°-90°-60°=120°,
∴∠CEF=60°.
又
∵FE=FC,
∴△CEF是等边三角形.
(2)解:由(1)知AB=BE,
∴当∠BAF=45°时,∠AEB=45°,∠ABE=90°,
∴△ABE是等腰直角三角形.
又
∵BG⊥AE,
∴$AG=EG=BG=\frac{1}{2}AE=\frac{5}{2}.$
由(1)可得,∠BFG=30°,
∴在Rt△BFG中,BF=2BG=5.