1. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $AD$ 上一点，连接 $BE$ 交对角线于点 $F$，连接 $DF$，若 $∠ ABE = 35^{\circ}$，则 $∠ CFD$ 的度数为(
A
)
A.$80^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$45^{\circ}$
答案：1. A
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=AD$，$∠ BAF=∠ DAF=45°$，$AF=AF$，
∴$△ ABF ≌ △ ADF$（SAS），
∴$∠ ADF=∠ ABE=35°$。
∵$∠ ADC=90°$，
∴$∠ CDF=∠ ADC - ∠ ADF=90° - 35°=55°$。
∵$AC$是正方形对角线，
∴$∠ DCF=45°$。
在$△ CFD$中，$∠ CFD=180° - ∠ CDF - ∠ DCF=180° - 55° - 45°=80°$。
A
2. 如图，在边长为 4 的正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 上一点，$F$ 是 $CD$ 延长线上一点，连接 $AE$，$AF$，$AM$ 平分 $∠ EAF$ 交 $CD$ 于点 $M$。若 $BE = DF = 1$，则 $DM$ 的长度为(
D
)
A.2
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\frac{12}{5}$
答案：2. D
3. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $ABCD$ 的边长为 2，$∠ DAO = 60^{\circ}$，则点 $C$ 的坐标为
$(\sqrt{3},1+\sqrt{3})$
。
答案：3. $(\sqrt{3},1+\sqrt{3})$
解析：
解：过点$D$作$DE ⊥ x$轴于点$E$，过点$C$作$CF ⊥ DE$于点$F$。
在$Rt△ ADE$中，$∠ DAO = 60°$，$AD = 2$，
$\cos 60° = \frac{AE}{AD}$，则$AE = AD · \cos 60° = 2 × \frac{1}{2} = 1$，
$\sin 60° = \frac{DE}{AD}$，则$DE = AD · \sin 60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
$\therefore D(0,\sqrt{3})$，$A(1,0)$。
$\because ∠ ADC = 90°$，$∠ ADE = 30°$，$\therefore ∠ CDF = 60°$。
在$Rt△ CDF$中，$CD = 2$，
$\cos 60° = \frac{DF}{CD}$，则$DF = CD · \cos 60° = 2 × \frac{1}{2} = 1$，
$\sin 60° = \frac{CF}{CD}$，则$CF = CD · \sin 60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
$\therefore$点$C$的横坐标为$CF = \sqrt{3}$，纵坐标为$DE + DF = \sqrt{3} + 1$，
即$C(\sqrt{3},1 + \sqrt{3})$。
$(\sqrt{3},1+\sqrt{3})$
4. (2024·南京秦淮)如图，$E$ 为正方形 $ABCD$ 对角线 $BD$ 上一点，且 $BE = BC$，$EF ⊥ BD$，交 $DC$ 于点 $F$。
(1)求证：$DE = CF$；
(2)若 $DE = 1$，则该正方形的边长为
$1+\sqrt{2}$
。
答案：4. (1) 证明：如答图，连接BF.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠C=∠ADC=90^{\circ},∠BDC=45^{\circ}$.
∵ $EF⊥BD$，
∴ $∠FEB=90^{\circ}$.
在 $Rt△BEF$ 和 $Rt△BCF$ 中，$\{\begin{array}{l} BF=BF,\\ BE=BC,\end{array} $
∴ $Rt△BEF≌Rt△BCF(HL)$，
∴ $EF=CF$.
∵ $∠FED=90^{\circ},∠BDC=45^{\circ}$，
∴ $∠DFE=45^{\circ}$，
∴ $DE=EF$，
∴ $DE=CF$.
(2) $1+\sqrt{2}$
5. (2024·徐州)如图，正方形 $OABC$ 的边长为 4，点 $A$，$C$ 分别在 $x$ 轴，$y$ 轴的正半轴上，点 $D$ 在 $OA$ 上，且点 $D$ 的坐标为 $(1,0)$，$P$ 是 $OB$ 上的一个动点，则 $PD + PA$ 的最小值是
$\sqrt{17}$
。
答案：5. $\sqrt{17}$
解析：
解：连接 $CD$，交 $OB$ 于点 $P$。
因为四边形 $OABC$ 是正方形，所以点 $A$ 与点 $C$ 关于直线 $OB$ 对称，因此 $PA = PC$。
所以 $PD + PA = PD + PC = CD$。
已知 $C(0,4)$，$D(1,0)$，根据两点间距离公式可得：
$CD = \sqrt{(0 - 1)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$。
故 $PD + PA$ 的最小值是 $\sqrt{17}$。
$\sqrt{17}$
