解：以点$D$为原点，$AD$所在直线为$y$轴，$DC$所在直线为$x$轴，建立平面直角坐标系。
则$D(0,0)$，$C(8,0)$，$B(8,6)$，$A(0,6)$。
设$P(x,y)$，因为$∠ APB = 90°$，所以$\overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB} = 0$。
$\overrightarrow{PA} = (-x, 6 - y)$，$\overrightarrow{PB} = (8 - x, 6 - y)$，
$(-x)(8 - x) + (6 - y)^2 = 0$，即$x^2 - 8x + (6 - y)^2 = 0$ ①。
因为$CP = CB$，$CB = 6$，$C(8,0)$，
所以$\sqrt{(x - 8)^2 + (y - 0)^2} = 6$，即$(x - 8)^2 + y^2 = 36$ ②。
联立①②：
由①得$(6 - y)^2 = 8x - x^2$，
由②得$(x - 8)^2 = 36 - y^2$，即$x^2 - 16x + 64 = 36 - y^2$，$x^2 - 16x + y^2 = -28$ ③。
将$(6 - y)^2 = 8x - x^2$展开：$36 - 12y + y^2 = 8x - x^2$，$x^2 + y^2 = 8x + 12y - 36$ ④。
③ - ④得：$-16x = -8x - 12y + 8$，$-8x + 12y = 8$，$2x - 3y = -2$，$x = \frac{3y - 2}{2}$。
代入②：$(\frac{3y - 2}{2} - 8)^2 + y^2 = 36$，$(\frac{3y - 18}{2})^2 + y^2 = 36$，$\frac{9(y - 6)^2}{4} + y^2 = 36$，
$9(y^2 - 12y + 36) + 4y^2 = 144$，$13y^2 - 108y + 180 = 0$，
解得$y = 6$（舍，此时$P$与$B$重合）或$y = \frac{30}{13}$，则$x = \frac{3×\frac{30}{13} - 2}{2} = \frac{32}{13}$，所以$P(\frac{32}{13}, \frac{30}{13})$。
直线$CP$：过$C(8,0)$，$P(\frac{32}{13}, \frac{30}{13})$，斜率$k = \frac{\frac{30}{13} - 0}{\frac{32}{13} - 8} = -\frac{30}{72} = -\frac{5}{12}$，
方程为$y = -\frac{5}{12}(x - 8)$。
令$x = 0$，$y = \frac{10}{3}$，即$E(0, \frac{10}{3})$。
$AE = 6 - \frac{10}{3} = \frac{8}{3}$。
$\frac{8}{3}$

解：在矩形$ABCD$中，$∠ ABC = 90°$，$AD// BC$，$AB = CD$，$AD = BC$。
因为$BE$平分$∠ ABC$，所以$∠ ABE=∠ EBC = 45°$。
在$△ ABE$中，$∠ A = 90°$，$∠ ABE = 45°$，故$△ ABE$是等腰直角三角形，$AB = AE$。
设$AB = AE = x$，$ED = y$，则$AD = AE + ED = x + y$，$BC = x + y$，$CD = x$。
因为$AD// BC$，所以$∠ BEC=∠ DEC$。
又因为$CE$平分$∠ BED$，所以$∠ BEC=∠ DEC$，故$∠ BEC=∠ ECB$，所以$BE = BC$。
在$△ ABE$中，$BE=\sqrt{AB^2 + AE^2}=\sqrt{x^2 + x^2}=\sqrt{2}x$，所以$BC=\sqrt{2}x$，即$x + y=\sqrt{2}x$，解得$y=(\sqrt{2}-1)x$。
在$△ DEC$中，$\tan∠ DEC=\frac{CD}{ED}=\frac{x}{(\sqrt{2}-1)x}=\sqrt{2}+1$，所以$∠ DEC = 67.5°$。
因为$∠ BEC=∠ DEC$，所以$∠ BEC = 67.5°$，又因为$∠ BEC=∠ ECB$，所以$∠ BCE = 67.5°$。
$67.5$

解：在矩形 $ABCD$ 中，$AB=5$，$BC=12$，
$\therefore AC=BD=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$，
设矩形对角线交点为 $O$，则 $BO=CO=\frac{13}{2}$，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{4}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{4}×5×12=15$，
连接 $OP$，则 $S_{△ BOC}=S_{△ BOP}+S_{△ COP}$，
$\because PE⊥ AC$，$PF⊥ BD$，
$\therefore \frac{1}{2}× BO× PF+\frac{1}{2}× CO× PE=15$，
即 $\frac{1}{2}×\frac{13}{2}×(PF + PE)=15$，
解得 $PE + PF=\frac{60}{13}$。
$\frac{60}{13}$