1. 关于矩形的性质，下面说法错误的是 (
C
)
A.矩形的四个角都是直角
B.矩形的两条对角线相等
C.矩形的两条对角线互相垂直平分
D.矩形的两组对边分别平行
答案：1. C
2. (2024·吉林)如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(-4,0)，点 C 的坐标为(0,2). 以 OA,OC 为边作矩形 OABC. 若将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到矩形 OA'B'C'，则点 B'的坐标为 (
C
)
A.(-4,-2)
B.(-4,2)
C.(2,4)
D.(4,2)
答案：2. C
解析：
解：
∵点A的坐标为(-4,0)，点C的坐标为(0,2)，四边形OABC是矩形，
∴点B的坐标为(-4,2)。
∵矩形OABC绕点O顺时针旋转90°得到矩形OA'B'C'，
∴点B'的坐标为(2,4)。
答案：C
3. 如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 CE=BD，连接 AE，若∠ADB=40°，则∠E 的度数为 (
D
)
A.35°
B.30°
C.25°
D.20°
答案：3. D
解析：
解：连接AC。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AD//BC，∠ADB=∠DBC=40°。
∵CE=BD，
∴AC=CE，
∴∠E=∠CAE。
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB。
∵∠ACB=90°-∠DBC=90°-40°=50°，
∴∠DAC=50°。
∵∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠E（AD//BC，内错角相等），
∴50°+∠E=∠E+∠E（∠DAE=∠E），
解得∠E=20°。
答案：D
4. 如图，在矩形 ABCD 中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：AF=CE.
答案：4. 证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AB//CD,
∴∠BAE=∠DCF.
又
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
在△ABE与△CDF中,
$\{ \begin{array} { l } { ∠ A E B = ∠ C F D, } \\ { ∠ B A E = ∠ D C F, } \\ { A B = C D, } \end{array} $
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=1，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE⊥BD，垂足为 E，若 BE=EO，则 AD 的长是 (
B
)
A.3√2
B.√3
C.3√3
D.√5
答案：5. B
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore OA=OB$。
$\because BE=EO$，$AE⊥ BD$，
$\therefore AB=AO$（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
$\therefore OA=OB=AB=1$，
$\therefore BD=2OB=2$。
在$Rt△ ABD$中，$AD=\sqrt{BD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
B
6. 如图，以钝角三角形 ABC 的最长边 BC 为边向外作矩形 BCDE，连接 AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD 的面积分别为 S，S₁，S₂，若要求出 S - S₁ - S₂ 的值，只需求知道 (
C
)
A.△ABE 的面积
B.△ACD 的面积
C.△ABC 的面积
D.矩形 BCDE 的面积
答案：6. C
解析：
证明：设矩形$BCDE$中，$BC=a$，$BE=CD=h$，$△ ABC$边$BC$上的高为$h_1$。
$S_1=\frac{1}{2}BE·$点$A$到$BE$的距离，$S_2=\frac{1}{2}CD·$点$A$到$CD$的距离。
$S=\frac{1}{2}ED·(h + h_1)=\frac{1}{2}ah+\frac{1}{2}ah_1$。
$S_1 + S_2=\frac{1}{2}h·$（点$A$到$BE$距离 + 点$A$到$CD$距离）$=\frac{1}{2}ah$。
$S - S_1 - S_2=\frac{1}{2}ah+\frac{1}{2}ah_1-\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ah_1=S_{△ ABC}$。
答案：C
7. (2024·徐州)如图，点 E 在矩形纸片 ABCD 的边 CD 上，将纸片沿 BE 折叠，点 C 的对应点 F 恰好在线段 AE 上. 若 AB=5，CE=1，则 BC 的长是 (
B
)
A.2
B.3
C.4
D.1.5
答案：7. B
解析：
解：设$BC=x$，
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD=BC=x$，$CD=AB=5$，$∠ D=90°$，
∵$CE=1$，
∴$DE=CD-CE=5-1=4$，
由折叠性质得：$BF=BC=x$，$EF=CE=1$，$∠ BFE=∠ C=90°$，
∴$∠ AFB=180°-∠ BFE=90°$，$AF=AE-EF=AE-1$，
在$Rt△ ADE$中，$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{x^2+4^2}=\sqrt{x^2+16}$，
∴$AF=\sqrt{x^2+16}-1$，
在$Rt△ AFB$中，$AF^2+BF^2=AB^2$，
即$(\sqrt{x^2+16}-1)^2+x^2=5^2$，
展开得：$x^2+16-2\sqrt{x^2+16}+1+x^2=25$，
化简得：$2x^2+17-25=2\sqrt{x^2+16}$，
$2x^2-8=2\sqrt{x^2+16}$，
$x^2-4=\sqrt{x^2+16}$，
两边平方得：$(x^2-4)^2=x^2+16$，
$x^4-8x^2+16=x^2+16$，
$x^4-9x^2=0$，
$x^2(x^2-9)=0$，
解得$x^2=9$（$x^2=0$舍去），
∴$x=3$（负值舍去），
即$BC=3$。
答案：B
