1. 在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AB = CD$。下列说法能使四边形 $ABCD$ 为矩形的是(
C
)
A.$AB// CD$
B.$AD = BC$
C.$∠ A=∠ B$
D.$∠ A=∠ C$
答案：1. C
2. 下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是(
D
)
A.测量得出对角线相等
B.测量得出对角线互相平分
C.测量得出两组对边分别相等
D.测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等
答案：2. D
3. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，点 $D$ 在 $BC$ 边上，$DF// AB$，$DE// AC$，则当$∠ B=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$时，四边形 $AEDF$ 是矩形。
答案：3. 45
解析：
证明：
∵ $AB = AC$，
∴ $△ ABC$ 是等腰三角形，$∠ B = ∠ C$。
∵ $DF // AB$，$DE // AC$，
∴ 四边形 $AEDF$ 是平行四边形。
要使四边形 $AEDF$ 是矩形，则需 $∠ A = 90°$。
在 $△ ABC$ 中，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
又 $∠ B = ∠ C$，$∠ A = 90°$，
∴ $2∠ B = 180° - 90° = 90°$，
∴ $∠ B = 45°$。
45
4. (2024·贵州)如图，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$AD// BC$，$∠ ABC = 90^{\circ}$，有下列条件：①$AB// CD$，②$AD = BC$。
(1)请从以上①②中任选 1 个作为条件，求证：四边形 $ABCD$ 是矩形；
(2)在(1)的条件下，若 $AB = 3$，$AC = 5$，求四边形 $ABCD$ 的面积。
答案：4. 解: (1) 选择①, 证明:
∵AD//BC, AB//CD,
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC = 90°,
∴四边形 ABCD 是矩形.
选择②, 证明:
∵AD//BC, AD = BC,
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC = 90°,
∴四边形 ABCD 是矩形.
(2)
∵四边形 ABCD 是矩形,
AB = 3, AC = 5,
∴BC = $\sqrt{AC^{2} - AB^{2}} = 4$,
∴四边形 ABCD 的面积为 AB·BC = 3×4 = 12.
5. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AE = AF$，过点 $E$ 作 $EH⊥ EF$ 交 $DC$ 于点 $H$，过点 $F$ 作 $FG⊥ EF$ 交 $BC$ 于点 $G$，连接 $GH$，当 $AD$，$AB$ 满足条件
AD = AB
时，四边形 $EFGH$ 为矩形。
答案：5. AD = AB
6. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，动点 $E$ 以每秒 1 个单位长度的速度从点 $A$ 出发沿 $AC$ 方向运动，点 $F$ 同时以每秒 1 个单位长度的速度从点 $C$ 出发沿 $CA$ 方向运动，若 $AC = 12$，$BD = 8$，则经过
2 或 10
秒后，四边形 $BEDF$ 是矩形。
答案：6. 2 或 10
解析：
解：设经过$ t $秒后，四边形$ BEDF $是矩形。
因为四边形$ ABCD $是平行四边形，所以$ OA=OC=\frac{1}{2}AC=6 $，$ OB=OD=\frac{1}{2}BD=4 $。
由题意得：$ AE=CF=t $，则$ OE=|OA - AE|=|6 - t| $，$ OF=|OC - CF|=|6 - t| $，所以$ OE=OF $。
因为$ OB=OD $，所以四边形$ BEDF $是平行四边形。
当$ EF=BD=8 $时，平行四边形$ BEDF $是矩形。
$ EF=AC - AE - CF=12 - 2t $或$ EF=AE + CF - AC=2t - 12 $。
当$ 12 - 2t=8 $时，$ t=2 $；当$ 2t - 12=8 $时，$ t=10 $。
综上，经过$ 2 $或$ 10 $秒后，四边形$ BEDF $是矩形。
答案：$ 2 $或$ 10 $
