三、解答题（共55分）
10. (15分)(2025·二道区校级模拟)如图，在▱ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且$ BM = DN $.求证：AC与MN互相平分.
答案：10.证明:连接AN,CM,如答图.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD.
∵BM=DN,
∴CD−DN=AB−BM,即CN=AM.
∵CN//AM,
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AC与MN互相平分.
11. (20分)如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F分别在OD，OB上，且$ OE = OF $，连接AE，CF.
(1)求证：$ AE = CF $；
(2)延长AE交CD于点G，延长CF交AB于点H.求证：$ AH = CG $.
答案：11.证明:(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD//BC,BO=DO,
∴∠ADE=∠CBF.
∵OE=OF,
∴DE=BF.
在△ADE和△CBF中$\begin{cases}AD=CB,\\∠ADE=∠CBF,\\DE=BF,\end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(SAS),
∴AE=CF.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AB//CD,
∴∠DAC=∠BCA.
∵△ADE≌△CBF,
∴∠DAE=∠BCF,
∴∠EAO=∠FCO,
∴AG//HC.
∵AH//CG,
∴四边形AHCG是平行四边形,
∴AH=CG.
12. (20分)如图，在▱ABCD中，$ AD = 2AB $，F是AD的中点，作$ CE ⊥ AB $，垂足为E，连接EF，CF.
(1)求证：$ ∠ DCF = \frac{1}{2} ∠ BCD $；
(2)求证：$ EF = CF $；
(3)若$ \frac{BE}{AE} = a $，设$ △ BEC $的面积为$ S_1 $，$ △ EFC $的面积为$ S_2 $，求$ \frac{S_2}{S_1} $的值.（用含a的代数式表示）
答案：12.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AD//BC,
∴∠DFC=∠BCF.
∵AD=2AB,F是AD的中点,
∴AD=2CD=2FD,
∴CD=FD,
∴∠DCF=∠DFC,
∴∠DCF=∠BCF=$\dfrac{1}{2}$∠BCD.
(2)证明:如答图,延长CD,EF交于点G.
∵AB//CD,
∴∠A=∠FDG.
在△AEF和△DGF中$\begin{cases}∠A=∠FDG,\\AF=DF,\\∠AFE=∠DFG,\end{cases}$
∴△AEF≌△DGF(ASA),
∴EF=GF.
∵CE⊥AB,
∴∠ECG=∠BEC=90°,
∴EF=CF=$\dfrac{1}{2}$EG.
(3)解:如答图,设AE=m,
∵$\dfrac{BE}{AE}$=a,
∴BE=am,
∴CD=AB=m+am.
∵△AEF≌△DGF,
∴DG=AE=m,
∴CG=m+am+m=2m+am.
∵S₁=S_{△BEC}=$\dfrac{1}{2}$am·CE,S₂=S_{△EFC}=$\dfrac{1}{2}$S_{△EGC}=$\dfrac{1}{2}$×$\dfrac{1}{2}$(2m+am)CE=$\dfrac{1}{4}$(2m+am)CE,
∴$\dfrac{S₂}{S₁}$=$\dfrac{\dfrac{1}{4}(2m+am)CE}{\dfrac{1}{2}am·CE}$=$\dfrac{2+a}{2a}$.
