证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
选项A：若BE=DF，则AD-DF=BC-BE，即AF=EC。
∵AF//EC且AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形。
选项B：若AE//CF，又
∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形。
选项C：若AF=EC，又
∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形。
选项D：AE=EC仅说明△AEC是等腰三角形，无法判定AF//EC或AF=EC，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形。
答案：D

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC、BD互相平分，即$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
∵$AC=3$，$BD=5$，
∴$OC=\frac{3}{2}$，$OD=\frac{5}{2}$。
∵$DE// AC$，$CE// BD$，
∴四边形OCED是平行四边形。
∴四边形OCED的周长为$2(OC+OD)=2(\frac{3}{2}+\frac{5}{2})=2×4=8$。
答案：C

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，OA=OC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，OE=OF，
设CF=x，则BF=2x，BC=3x，
∴AD=3x，AE=CF=x，DE=AD-AE=2x，
∵S_▱ABCD=12，
∴S_△ABC=6，
过A作AH⊥BC于H，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$·BC·AH=6，即$\frac{1}{2}$·3x·AH=6，得x·AH=4，
S_△AOE=S_△COF，
S_阴影=S_△AOE+S_△COF=2S_△COF，
S_△COF=$\frac{1}{2}$·CF·$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{4}$x·AH=1，
∴S_阴影=2×1=2.
答案：D

解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{13}{2}$，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{9}{2}$，
∴△AOB的周长=AB+OA+OB=5+$\frac{13}{2}$+$\frac{9}{2}$=5+11=16.

在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$AC=3$，$AB=5$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$。
情况一：以$AC$，$BC$为邻边，平行四边形周长为$2(AC+BC)=2×(3 + 4)=14$；
情况二：以$AC$，$AB$为邻边，平行四边形周长为$2(AC+AB)=2×(3 + 5)=16$；
情况三：以$BC$，$AB$为邻边，平行四边形周长为$2(BC+AB)=2×(4 + 5)=18$。
14或16或18

证明：在▱ABCD中，AD//BC，AD=BC=10，AB=CD=5。
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF。
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∴∠BAF=∠AEB，
∴AB=BE=5。
同理，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF。
∵AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF=5。
∴AF=BE=5，又
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形。
∵AB=AF=5，
∴▱ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，且AE与BF互相平分。
设AE与BF交于点O，则BO=FO=4，AO=EO。
在Rt△AOB中，AO=$\sqrt{AB^2 - BO^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
∴AE=2AO=6。
菱形ABEF的面积=$\frac{1}{2}×AE×BF=\frac{1}{2}×6×8=24$。
∵AF=5，AD=10，
∴FD=AD - AF=5，同理EC=BC - BE=5，
∴FD=EC=5。
∵FD//EC，
∴四边形FECD是平行四边形，且FD=AB=5，
∴▱FECD≌▱ABEF。
∴▱ABCD的面积=2×菱形ABEF的面积=2×24=48。
48

设点$D$的坐标为$(x,y)$。
情况一：以$AB$、$AC$为邻边
$\overrightarrow{AB}=(-3 - 2, 0 - 3)=(-5,-3)$，$\overrightarrow{AC}=(2 - 2, -2 - 3)=(0,-5)$
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(-5 + 0, -3 + (-5))=(-5,-8)$
$\because A(2,3)$，$\therefore x = 2 + (-5) = -3$，$y = 3 + (-8) = -5$，即$D(-3,-5)$
情况二：以$AB$、$BC$为邻边
$\overrightarrow{BA}=(2 - (-3), 3 - 0)=(5,3)$，$\overrightarrow{BC}=(2 - (-3), -2 - 0)=(5,-2)$
$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=(5 + 5, 3 + (-2))=(10,1)$
$\because B(-3,0)$，$\therefore x = -3 + 10 = 7$，$y = 0 + 1 = 1$，即$D(7,1)$
情况三：以$AC$、$BC$为邻边
$\overrightarrow{CA}=(2 - 2, 3 - (-2))=(0,5)$，$\overrightarrow{CB}=(-3 - 2, 0 - (-2))=(-5,2)$
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=(0 + (-5), 5 + 2)=(-5,7)$
$\because C(2,-2)$，$\therefore x = 2 + (-5) = -3$，$y = -2 + 7 = 5$，即$D(-3,5)$
综上，点$D$的坐标为$(-3,5)$或$(7,1)$或$(-3,-5)$。