7. 在平面直角坐标系中,有三点 $A(1,1),B(1,3),C(3,2)$,再找一个点 $D$,使这四个点构成平行四边形,则点 $D$ 的坐标为
(3,0)或(-1,2)或(3,4)
.
答案：7. (3,0)或(-1,2)或(3,4)
9. 如图,在$□ ABCD$中,$AE⊥BD$ 于点 $E,CF⊥BD$ 于点 $F,G,H$ 分别为 $AD$,$BC$ 的中点.求证:$EF$ 和 $GH$ 互相平分.
答案：9. 证明:设GH与BD相交于点O,连接BG,DH,如答图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,AB//CD,
∴∠ABE=∠CDF.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
在△ABE和△CDF中,
{∠ABE=∠CDF,
∠AEB=∠CFD,
AB=CD,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴BE=DF.
∵G,H分别为AD,BC的中点,
∴DG=BH.
又
∵DG//BH,
∴四边形BHDG是平行四边形,
∴OG=OH,OB=OD,
∴OB - BE=OD - DF,
∴OE=OF,即EF和GH互相平分.
10. 如图,在$□ ABCD$中,对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O,OA = 5,E,F$ 为直线 $BD$ 上的两个动点(点 $E,F$ 始终在$□ ABCD$ 的外面),连接 $AE,CE,CF,AF$.
(1)若 $DE = \frac{1}{2}OD,BF = \frac{1}{2}OB$,
①求证:四边形 $AFCE$ 为平行四边形;
②若 $CA$ 平分$∠BCD,∠AEC = 60°$,求四边形 $AFCE$ 的周长.
(2)若 $DE = \frac{1}{3}OD,BF = \frac{1}{3}OB$,四边形 $AFCE$ 还是平行四边形吗? 请写出结论并说明理由.
若 $DE = \frac{1}{n}OD,BF = \frac{1}{n}OB$ 呢? 请直接写出结论.
答案：10. (1)①证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵DE=$\frac{1}{2}$OD,BF=$\frac{1}{2}$OB,
∴DE=BF,
∴OE=OF,
∴四边形AFCE为平行四边形.
②解:在□ABCD中,AD//BC,
∴∠DAC=∠BCA.
∵CA平分∠BCD,
∴∠BCA=∠DCA,
∴∠DCA=∠DAC,
∴AD=CD.
∵OA=OC,
∴OE⊥AC,
∴OE是AC的垂直平分线,
∴AE=CE.
∵∠AEC=60°,
∴△ACE是等边三角形,
∴AE=CE=AC=2OA=10,
∴四边形AFCE的周长是
2(AE + CE)=2×(10 + 10)=40.
(2)解:四边形AFCE是平行四边形,
理由:
∵DE=$\frac{1}{3}$OD,BF=$\frac{1}{3}$OB,OD=OB,
∴DE=BF,
∴OB + BF=OD + DE,即OF=OE.
∵OA=OC,
∴四边形AFCE为平行四边形.
若DE=$\frac{1}{n}$OD,BF=$\frac{1}{n}$OB,则四边形AFCE为平行四边形.
