11. 已知$x=\dfrac{3-\sqrt{2}}{2}$，$y=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$，求下列各式的值：
（1）$x^{2}-y^{2}$；
（2）$x^{2}-2xy + y^{2}$。
答案：11. 解：(1) 当 $ x = \frac { 3 - \sqrt { 2 } } { 2 } $，$ y = \frac { 1 + \sqrt { 2 } } { 2 } $ 时，
原式 $ = ( x + y ) ( x - y ) = ( \frac { 3 - \sqrt { 2 } } { 2 } + \frac { 1 + \sqrt { 2 } } { 2 } ) × ( \frac { 3 - \sqrt { 2 } } { 2 } - \frac { 1 + \sqrt { 2 } } { 2 } ) = 2 × ( 1 - \sqrt { 2 } ) = 2 - 2 \sqrt { 2 } $
(2) 当 $ x = \frac { 3 - \sqrt { 2 } } { 2 } $，$ y = \frac { 1 + \sqrt { 2 } } { 2 } $ 时，
原式 $ = ( x - y ) ^ { 2 } = ( \frac { 3 - \sqrt { 2 } } { 2 } - \frac { 1 + \sqrt { 2 } } { 2 } ) ^ { 2 } = ( 1 - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } = 1 - 2 \sqrt { 2 } + 2 = 3 - 2 \sqrt { 2 } $
12. 请在如图所示的$5×5$的网格（每个小正方形的边长均为$1$）内画$△ ABC$，使它的顶点都在格点（网格线的交点）上，且三边长分别为$2$，$2\sqrt{5}$，$4\sqrt{\dfrac{1}{2}}$。
求：（1）$△ ABC$的面积；
（2）最长边上的高。
答案：12. 解：如答图所示. (答案不唯一)
(1) $ S _ { △ A B C } = \frac { 1 } { 2 } × 2 × 2 = 2 $
(2) 最长边上的高为 $ \frac { 2 × 2 } { 2 \sqrt { 5 } } = \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 } $
13. 已知$a$，$b$都是实数，$k$为整数，若$\dfrac{a + b}{2}=k$，则称$a$与$b$是关于$k$的一组“关联数”。
(1)$-2$与
4
是关于$1$的一组“关联数”；
(2)$\sqrt{2}+1$与
$ 5 - \sqrt { 2 } $
是关于$3$的一组“关联数”；
(3)若$a=\sqrt{2}+1$，$b=\sqrt{2}-1$，判断$a^{2}$与$b^{2}$是否为关于某整数的一组“关联数”，并说明理由。
答案：13. (1) 4
(2) $ 5 - \sqrt { 2 } $
(3) 解：$ a ^ { 2 } $ 与 $ b ^ { 2 } $ 是关于 3 的一组“关联数”.
理由：$ \because a = \sqrt { 2 } + 1 $，$ b = \sqrt { 2 } - 1 $，
$ \therefore \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } = \frac { ( \sqrt { 2 } + 1 ) ^ { 2 } + ( \sqrt { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } = \frac { 3 + 2 \sqrt { 2 } + 3 - 2 \sqrt { 2 } } { 2 } = \frac { 6 } { 2 } = 3 $，
$ \therefore a ^ { 2 } $ 与 $ b ^ { 2 } $ 是关于 3 的一组“关联数”.
