6. 若$a＜0$，$b＞0$，则化简$2\sqrt{\dfrac{1}{4}a^{2}-ab + b^{2}}$的结果为(
C
)
A.$a - 2b$
B.$2a - b$
C.$2b - a$
D.$b - 2a$
答案：6. C
解析：
$\begin{aligned}2\sqrt{\dfrac{1}{4}a^{2}-ab + b^{2}}&=2\sqrt{(\dfrac{1}{2}a - b)^{2}}\\&=2\left|\dfrac{1}{2}a - b\right|\\\because a ＜ 0, b ＞ 0,\\\therefore \dfrac{1}{2}a ＜ 0, -b ＜ 0,\\\therefore \dfrac{1}{2}a - b ＜ 0,\\\therefore \left|\dfrac{1}{2}a - b\right|=b - \dfrac{1}{2}a,\\\therefore 2\left|\dfrac{1}{2}a - b\right|=2(b - \dfrac{1}{2}a)=2b - a\end{aligned}$
C
7. 已知$y=\sqrt{(x - 5)^{2}}-x + 6$，当$x$分别取$1$，$2$，$3$，$···$，$2025$时，所对应$y$值的总和是(
C
)
A.$2035$
B.$2034$
C.$2045$
D.$2044$
答案：7. C
解析：
$y=\sqrt{(x-5)^2}-x+6=|x-5|-x+6$
当$x＜5$时，$y=5-x-x+6=11-2x$
$x=1$时，$y=11-2×1=9$
$x=2$时，$y=11-2×2=7$
$x=3$时，$y=11-2×3=5$
$x=4$时，$y=11-2×4=3$
总和：$9+7+5+3=24$
当$x≥5$时，$y=x-5-x+6=1$
$x=5$到$x=2025$共$2025-5+1=2021$个数
总和：$2021×1=2021$
总总和：$24+2021=2045$
C
8. 若$a＜0$时，化简$\vert -a+\sqrt{a^{2}}\vert=$
- 2a
。
答案：8. $- 2a$
解析：
因为$a ＜ 0$，所以$\sqrt{a^2} = |a| = -a$。
则$-a + \sqrt{a^2} = -a + (-a) = -2a$。
因为$a ＜ 0$，所以$-2a ＞ 0$，所以$\vert -a + \sqrt{a^2}\vert = \vert -2a\vert = -2a$。
$-2a$
9. 已知$x+\sqrt{(x - 2026)^{2}}=2026$，则$x$的取值范围是
x≤ 2026
。
答案：9. $x≤ 2026$
解析：
$x+\sqrt{(x - 2026)^{2}}=2026$
$\sqrt{(x - 2026)^{2}}=2026 - x$
$\because \sqrt{(x - 2026)^{2}} = |x - 2026|$
$\therefore |x - 2026| = 2026 - x$
$\because |a| = -a$时，$a ≤ 0$
$\therefore x - 2026 ≤ 0$
$\therefore x ≤ 2026$
10. 已知$\vert a\vert = 5$，$\sqrt{b^{2}} = 7$，且$\sqrt{(a - b)^{2}} = b - a$，则$a + b=$
2 或 12
。
答案：10. 2 或 12
解析：
因为$\vert a\vert = 5$，所以$a = \pm 5$；因为$\sqrt{b^{2}} = 7$，所以$b = \pm 7$。
又因为$\sqrt{(a - b)^{2}} = b - a$，所以$b - a ≥ 0$，即$b ≥ a$。
当$b = 7$时：
若$a = 5$，满足$7 ≥ 5$，则$a + b = 5 + 7 = 12$；
若$a = -5$，满足$7 ≥ -5$，则$a + b = -5 + 7 = 2$。
当$b = -7$时，无论$a = 5$还是$a = -5$，都不满足$b ≥ a$，故舍去。
综上，$a + b = 2$或$12$。
11. 已知$a + b=-3$，$ab = 2$，则$\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab}=$
1
。
答案：11. 1
解析：
$\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab}=\sqrt{(a - b)^{2}}=\vert a - b\vert$，
$(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab=(-3)^{2}-4×2=9 - 8=1$，
$\vert a - b\vert=\sqrt{1}=1$。
12. 实数$a$，$b$在数轴上的位置如图所示，化简$\vert a + 1\vert-\sqrt{(b - 1)^{2}}+\sqrt{(a - b)^{2}}=$
2
。
答案：12. 2
解析：
解：由数轴可知，$-1 ＜ a ＜ 0$，$1 ＜ b ＜ 2$，
$\therefore a + 1 ＞ 0$，$b - 1 ＞ 0$，$a - b ＜ 0$，
$\vert a + 1\vert - \sqrt{(b - 1)^2} + \sqrt{(a - b)^2}$
$= (a + 1) - (b - 1) + (b - a)$
$= a + 1 - b + 1 + b - a$
$= 2$
13. 若$a$，$b$，$c$是三角形的三边长，化简：$\sqrt{(a + b - c)^{2}}+\sqrt{(b - c - a)^{2}}+\sqrt{(b + c - a)^{2}}$。
答案：13. 解: $\because a$，$b$，$c$是三角形的三边长，
$\therefore a + b - c ＞ 0$，$b - c - a ＜ 0$，$b + c - a ＞ 0$，
$\therefore$ 原式$= a + b - c - (b - c - a) + b + c - a = a + b - c + b + c + a + b + c - a = a + b + c$。
14. 当$a = 2-\sqrt{3}$时，求$\dfrac{a(a - 2)}{\sqrt{a^{2}-4a + 4}}-\dfrac{\sqrt{a^{2}-2a + 1}}{a - 1}$的值。
答案：14. 解: 原式$=\frac{a(a - 2)}{\sqrt{(a - 2)^{2}}} - \frac{\sqrt{(a - 1)^{2}}}{a - 1} = \frac{a(a - 2)}{\vert a - 2\vert} - \frac{\vert a - 1\vert}{a - 1}$，
$\because a = 2 - \sqrt{3} ＜ 1$，
$\therefore$ 原式$=\frac{a(a - 2)}{-(a - 2)} - \frac{-(a - 1)}{a - 1} = - a + 1 = - (2 - \sqrt{3}) + 1 = \sqrt{3} - 1$。
15. 先阅读下面的文字，再解答问题：
对题目“化简并求值：$a+\sqrt{1 - 6a + 9a^{2}}$，其中$a = 5$”，甲、乙两人的解答不同。
甲的解答：原式$=a+\sqrt{(1 - 3a)^{2}}=a + 1 - 3a = 1 - 2a = 1 - 2× 5=-9$。
乙的解答：原式$=a+\sqrt{(1 - 3a)^{2}}=a + 3a - 1 = 4a - 1 = 4× 5 - 1 = 19$。
(1)你认为
甲
的解答是错误的；
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：
$\sqrt{a^{2}} = \vert a\vert$
；
(3)仿照上题，化简并求值：$\sqrt{a^{2}-10a + 25}+\sqrt{9 - 6a + a^{2}}$，其中$a=π$。
答案：15. (1) 甲
(2) $\sqrt{a^{2}} = \vert a\vert$
(3) 解: 原式$=\sqrt{(a - 5)^{2}} + \sqrt{(3 - a)^{2}}$。
$\because a = π$，$\therefore a - 5 ＜ 0$，$3 - a ＜ 0$，
$\therefore$ 原式$= 5 - a + a - 3 = 2$。
