阅读数学苏科七年级下册教材 47 页灵活运用和探索研究，解决下列问题：
1. 【知识回顾】
我们学习代数式的求值时，会遇到这样一类题，即“代数式 $ax - y + 6 + 3x - 5y - 1$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $a$ 的值”，通常的解题方法是：把 $x$，$y$ 看作字母，$a$ 看作系数，合并同类项，因为代数式的值与 $x$ 的取值无关，所以含 $x$ 项的系数为 0，即原式 $= (a + 3)x - 6y + 5$，所以 $a + 3 = 0$，则 $a = -3$。
【理解应用】
(1) 若关于 $x$ 的多项式 $(2x - 3)m + 2m^2 - 3x$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $m$ 的值；
(2) 已知 $A = (2x + 1)(x - 1) - x(1 - 3y)$，$B = -x^2 + xy - 1$，且 $3A + 6B$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $y$ 的值；
【能力提升】
(3) 有 7 张如图①的小长方形，长为 $a$，宽为 $b$，按照图②方式不重叠地放在大长方形 $ABCD$ 内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为 $S_1$，左下角的面积为 $S_2$，当 $AB$ 的长变化时，若 $S_1 - S_2$ 的值始终保持不变，求 $a$ 与 $b$ 的等量关系。
答案：解：(1) 原式$=2mx - 3m + 2m^{2} - 3x = (2m - 3)x + 2m^{2} - 3m$，因为其值与$x$的取值无关，所以$2m - 3 = 0$，解得$m = \frac{3}{2}$。
(2) 因为$A = (2x + 1)(x - 1) - x(1 - 3y)$，$B = -x^{2} + xy - 1$，所以$3A + 6B = 3[(2x + 1)(x - 1) - x(1 - 3y)] + 6(-x^{2} + xy - 1) = 3(2x^{2} - 2x + x - 1 - x + 3xy) - 6x^{2} + 6xy - 6 = 6x^{2} - 6x + 3x - 3 - 3x + 9xy - 6x^{2} + 6xy - 6 = 15xy - 6x - 9 = 3x(5y - 2) - 9$。因为$3A + 6B$的值与$x$的取值无关，所以$5y - 2 = 0$，即$y = \frac{2}{5}$。
(3) 设$AB = x$，则$S_{1} = a(x - 3b)$，$S_{2} = 2b(x - 2a)$，所以$S_{1} - S_{2} = a(x - 3b) - 2b(x - 2a) = (a - 2b)x + ab$。因为当$AB$的长变化时，$S_{1} - S_{2}$的值始终保持不变，所以$S_{1} - S_{2}$的值与$x$的取值无关，所以$a - 2b = 0$，所以$a = 2b$。
