9. (8 分)(2024·泰州期末)已知$(x + a)(x-\frac{3}{2})$的结果中不含关于字母$x$的一次项,求$(a + 2)^{2}-(1 - a)(-a - 1)$的值.
答案：9. 解：$(x + a)(x - \frac{3}{2})=x^2 + ax - \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}a=x^2 + (a - \frac{3}{2})x - \frac{3}{2}a$，
由题意，得$a - \frac{3}{2}=0$，则$a = \frac{3}{2}$。
$(a + 2)^2 - (1 - a)(-a - 1)=a^2 + 4a + 4 + 1 - a^2=4a + 5$，
当$a = \frac{3}{2}$时，原式$=4×\frac{3}{2} + 5=11$。
10. (10 分)若$a$，$b$可以代表一个数或一个代数式,定义运算“$□$”如下:$a□b=(a + b)^{2}-(a - b)^{2}$.
(1)化简:$2m□3n$；
(2)若$(m + 2)□(m - 3)=4m^{2}$,求$m$的值.
答案：10. 解：(1) 由新定义，得
$2m□3n=(2m + 3n)^2 - (2m - 3n)^2=4m^2 + 12mn + 9n^2 - 4m^2 + 12mn - 9n^2=24mn$。
(2) 因为$[(m + 2) + (m - 3)]^2 - [(m + 2) - (m - 3)]^2=4m^2$，
所以$(2m - 1)^2 - 5^2=4m^2$，
即$-4m - 24=0$，解得$m = -6$，
故$m$的值为$-6$。
11. (10 分)(1)已知有理数$x$，$y$满足$(2x^{2}+2y^{2}+3)(2x^{2}+2y^{2}-3)=27$，求$x^{2}+y^{2}$的值；
(2)在(1)的条件下,若$xy = 1$,求$(x + y)^{2}$和$x - y$的值.
答案：11. 解：(1) 设$2x^2 + 2y^2 = t$，则原方程变形为$(t + 3)(t - 3)=27$，整理，得$t^2 - 9=27$，所以$t^2=36$，解得$t = ±6$。因为$2x^2 + 2y^2≥0$，所以$2x^2 + 2y^2=6$，
所以$x^2 + y^2=3$。
(2) 因为$x^2 + y^2=3$，$xy = 1$，所以$(x + y)^2=x^2 + y^2 + 2xy=3 + 2=5$，$(x - y)^2=x^2 + y^2 - 2xy=3 - 2=1$，所以$x - y = ±1$。
12. (12 分)(2024·高邮期中)知识生成:我们已经知道,通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如,由图①可以得到$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$,基于此,请解答下列问题:
直接应用:(1)若$xy = 7$，$x + y = 5$，则$x^{2}+y^{2}=$
11
.
类比应用:(2)①若$x(3 - x)=4$，则$x^{2}+(x - 3)^{2}=$
1
；
②若$(x - 2019)(x - 2023)=2$，则$(x - 2019)^{2}+(x - 2023)^{2}=$
20
.
知识迁移:(3)两块完全相同的特制直角三角尺$(∠AOB = ∠COD = 90^{\circ})$如图②所示放置,点$A$，$O$，$D$在同一条直线上,连接$AC$，$BD$，若$AD = 16$，$S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=60$，求一块三角尺的面积.
答案：12. (1) 11 (2) ①1 ②20
(3) 解：由题意，设$OA = OC = a$，$OB = OD = b$，则$a + b = AD = 16$。
因为$S_{△AOC} + S_{△BOD}=60$，所以$\frac{1}{2}(a^2 + b^2)=60$，
所以$a^2 + b^2=120$，
所以$(a + b)^2 - 2ab=a^2 + b^2=120$，即$16^2 - 2ab=120$，
所以$ab=68$，所以$\frac{1}{2}ab=34$，
即一块三角尺的面积为$34$。
