18. (8分)一个不透明盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀，重复进行这样的试验得到以下数据：
(1)填空：a=
0.255
，b=
124
；
(2)在图中画出摸到黑棋的频率的折线统计图；
(3)随机摸一次，估计摸到黑棋的概率为
0.25
。(精确到0.01)
答案：18. (1) 0.255 124 解析：$ a = 51 ÷ 200 = 0.255 $，$ b = 500 × 0.248 = 124 $。
(2)折线统计图如下：
(3)0.25 解析：由图表可知，随机摸一次，估计摸到黑棋的频率在0.25附近上下浮动，则估计其概率为0.25.
19. (10分)新趋势
尺规作图(2024·遂宁中考改编)康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其他判定定理(判定定理1：三个角是直角的四边形是矩形)。
(1)实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA，OB，OC，OD；
③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD(如图①)。
于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形，则该判定定理是
对角线互相平分的四边形是平行四边形
。
(2)猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形。并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程。
已知：如图②，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。
答案：19. (1)对角线互相平分的四边形是平行四边形 解析：由作图可得 $ OA = OC $，$ OB = OD $，
∴四边形 $ ABCD $ 的对角线互相平分，
∴四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，故所使用的判定定理是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”。
(2)
∵四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
∴ $ AB // CD $，$ AB = CD $，
∴ $ ∠ ABC + ∠ BCD = 180^{\circ} $。
∵ $ AC = BD $，$ BC = CB $，
∴ $ △ ABC ≌ △ DCB(\mathrm{SSS}) $，
∴ $ ∠ ABC = ∠ DCB = 90^{\circ} $，
∴四边形 $ ABCD $ 是矩形.
20. （10分）（2024·呼伦贝尔中考）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF。
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若平行四边形ABCD的周长为22，CE=1，∠BAD=120°，求AE的长。
答案：20. (1)
∵四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，
∴ $ AD // BC $，即 $ AF // BE $，
∴ $ ∠ AFB = ∠ EBF $，$ ∠ FAE = ∠ BEA $。
∵ $ O $ 为 $ BF $ 的中点，
∴ $ BO = FO $，
∴ $ △ AOF ≌ △ EOB $，
∴ $ FA = BE $。
∵ $ AF // BE $，
∴四边形 $ ABEF $ 是平行四边形。又 $ AB = AF $，
∴四边形 $ ABEF $ 是菱形.
(2)
∵ $ AD = BC $，$ AF = BE $，
∴ $ DF = CE = 1 $。
∵平行四边形 $ ABCD $ 的周长为22，
∴菱形 $ ABEF $ 的周长为 $ 22 - 2 = 20 $，
∴ $ AB = 20 ÷ 4 = 5 $。
∵四边形 $ ABEF $ 是菱形，
∴ $ ∠ BAE = \dfrac{1}{2} ∠ BAD = \dfrac{1}{2} × 120^{\circ} = 60^{\circ} $。又 $ AB = BE $，
∴ $ △ ABE $ 是等边三角形，
∴ $ AE = AB = 5 $。
