11. 某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：A(节日文化篇)、B(安全防疫篇)、C(劳动实践篇)、D(冬奥运动篇)。下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则B类作业所在扇形的圆心角是
72
度。
答案：11. 72 解析：优质特色作业共有 $ 30 ÷ 30\% = 100 $（份），B类作业有 $ 100 - 25 - 30 - 25 = 20 $（份），
∴B类作业所在扇形的圆心角是 $ 360^{\circ} × \dfrac{20}{100} = 72^{\circ} $。
12. 如图，在矩形ABCD中，AB=AO，对角线AC与BD相交于点O，以点A为圆心，以AO的长为半径作弧，交AD于点E，连接OE，则∠DOE=
45
°。
答案：12. 45 解析：
∵四边形 $ ABCD $ 是矩形，
∴ $ AC = BD $，$ AO = \dfrac{1}{2}AC $，$ OB = \dfrac{1}{2}BD $，
∴ $ OA = OB $。
∵ $ AB = AO $，
∴ $ △ AOB $ 是等边三角形，
∴ $ ∠ BAC = 60^{\circ} $。
∵ $ ∠ BAD = ∠ ADC = 90^{\circ} $，
∴ $ ∠ CAD = 30^{\circ} $。
∵ $ OA = OD $，
∴ $ ∠ ADO = ∠ DAO = 30^{\circ} $，
∴ $ ∠ AOD = 120^{\circ} $。
∵ $ AE = OA $，
∴ $ ∠ AOE = ∠ AEO = \dfrac{180^{\circ} - 30^{\circ}}{2} = 75^{\circ} $，
∴ $ ∠ DOE = ∠ AOD - ∠ AOE = 120^{\circ} - 75^{\circ} = 45^{\circ} $。
13. 某花木场有一块等腰梯形的空地ABCD(如图)，各边的中点分别是E，F，G，H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC=
20
cm。
答案：13. 20 解析：连接 $ BD $，
∵等腰梯形的对角线相等，$ EF $，$ HG $，$ GF $，$ EH $ 均为三角形的中位线，
∴ $ EF = HG = GF = EH = \dfrac{1}{2}AC $。又
∵ $ EF + HG + GF + EH = 40\mathrm{cm} $，即 $ 2AC = 40\mathrm{cm} $，解得 $ AC = 20\mathrm{cm} $，
∴对角线 $ AC = 20\mathrm{cm} $。
14. 矩形ABCD中，AB=4，AD=5，E，F为直线AD上两点，且满足四边形BCFE为菱形，若M为EF的中点，则AM的长为
5.5 或 0.5
。
答案：14. 5.5 或 0.5 解析：分两种情况：第一种如图①所示。
∵四边形 $ ABCD $ 是矩形，
∴ $ CD = AB = 4 $，$ BC = AD = 5 $，$ ∠ ADC = ∠ CDF = 90^{\circ} $。
∵四边形 $ BCFE $ 为菱形，
∴ $ CF = EF = BE = BC = 5 $，
∴ $ DF = \sqrt{CF^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 $，
∴ $ AF = AD + DF = 8 $。
∵ $ M $ 是 $ EF $ 的中点，
∴ $ MF = \dfrac{1}{2}EF = 2.5 $，
∴ $ AM = AF - MF = 8 - 2.5 = 5.5 $。第二种如图②所示，同理，得 $ AE = 3 $。
∵ $ M $ 是 $ EF $ 的中点，
∴ $ ME = 2.5 $，
∴ $ AM = AE - ME = 0.5 $。综上所述，线段 $ AM $ 的长为5.5或0.5.
15. (2025·泰州校级月考)如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP=BQ，连接CP，QA，则PC+QA的最小值为
13
。
答案：15. 13 解析：如图，连接 $ BP $，$ PQ $，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，$ ∠ PAB = 90^{\circ} $，
∴ $ AP // BQ $。
∵ $ AP = BQ $，
∴四边形 $ ABQP $ 是平行四边形。
∵ $ ∠ PAB = 90^{\circ} $，
∴四边形 $ ABQP $ 是矩形，
∴ $ QA = PB $，则 $ PC + QA = PC + PB $，则 $ PC + QA $ 的最小值转化为 $ PC + PB $ 的最小值。在 $ BA $ 的延长线上截取 $ AE = AB = 6 $，连接 $ PE $，
∵ $ PA ⊥ BE $，
∴ $ PA $ 是 $ BE $ 的垂直平分线，
∴ $ PB = PE $，
∴ $ PC + PB = PC + PE $。连接 $ CE $，则 $ PC + QA = PC + PB = PC + PE ≥ CE $。
∵ $ BE = 2AB = 12 $，$ BC = AD = 5 $，
∴ $ CE = \sqrt{BE^2 + BC^2} = 13 $。
∴ $ PC + QA $ 的最小值为13.
16. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B(6,2)，直线y=2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过
6
秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分。
答案：16. 6 解析：连接 $ AC $，$ BO $ 交于点 $ D $，如图，当直线 $ y = 2x + 1 $ 向下平移经过 $ D $ 点时，与 $ y $ 轴的交点为 $ E $，直线 $ DE $ 可将 $ □ OABC $ 的面积平分。
∵四边形 $ OABC $ 是平行四边形，
∴ $ BD = OD $。由 $ B(6,2) $，易得 $ D(3,1) $。
∵直线 $ DE $ 是由直线 $ y = 2x + 1 $ 向下平移得到的，
∴设直线 $ DE $ 的表达式为 $ y = 2x + b $。
∵过 $ D(3,1) $，
∴ $ 2 × 3 + b = 1 $，解得 $ b = -5 $，
∴直线 $ DE $ 的表达式为 $ y = 2x - 5 $，
∴直线 $ y = 2x + 1 $ 要向下平移6个单位长度，即经过6秒该直线可将平行四边形 $ OABC $ 分成面积相等的两部分。
三、解答题(共72分)
17. (8分)(锦州中考)为了解同学们每月零花钱数额，校园小记者随机调查了本校部分学生，并根据调查结果绘制出如下不完整的统计图表。
学生每月零花钱数额频数分布直方图
请根据以上图表，解答下列问题：
(1)这次被调查的人数共有
40
人，a=
0.05
；
(2)计算并补全频数分布直方图；
(3)请估计该校1500名学生中每月零花钱数额低于90元的人数。
答案：17. (1) 40 0.05 解析：这次被调查的人数共有 $ 6 ÷ 0.15 = 40 $（人），则 $ a = 2 ÷ 40 = 0.05 $。
(2) $ b = 40 - 6 - 12 - 16 - 2 = 4 $，补全频数分布直方图如下：
学生每月零花钱数额频数分布直方图
(3)估计该校1500名学生中每月零花钱数额低于90元的人数为 $ 1500 × (0.15 + 0.30 + 0.40) = 1275 $（人）。
