答案：
8.5　解析：如图,连接EG,与HF交于点O.
∵E,F,G,H分别是四边形ABCD边的中点，
∴EH//BD,EH=$\frac{1}{2}$BD,FG//BD,FG=$\frac{1}{2}$BD,EF//AC,EF=$\frac{1}{2}$AC,GH//AC,GH=$\frac{1}{2}$AC.
∵BD=AC,
∴EH=FG=EF=GH,
∴四边形EFGH是菱形，
∴EG⊥HF,OH=$\frac{1}{2}$HF=3,OG=$\frac{1}{2}$EG,
∴∠HOG=90°.
∵四边形EFGH 面积为24,HF=6,
∴24=$\frac{1}{2}$×6×EG,解得EG=8,
∴OG=$\frac{1}{2}$EG=4.在Rt△HOG中,GH=$\sqrt { O H ^ { 2 } + O G ^ { 2 } } = \sqrt { 3 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } }$=5.

答案：
9.5　解析：如图,连接PA.
∵AG=EG,EF=FP,
∴GF=$\frac{1}{2}$PA,
∴GF+EF=$\frac{1}{2}$(PA+PE).要求GF+EF的最小值，只需求出PA+PE的最小值即可.作点A关于BC的对称点T,连接ET交BC于P',此时P'E+P'A的值最小.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EAT=90°.
∵AB=BT=3,
∴AT=6.
∵AD=10,DE=2,
∴AE=AD−DE=10−2=8,
∴P'E+P'A=P'E+P'T=ET=$\sqrt { A E ^ { 2 } + A T ^ { 2 } } = \sqrt { 8 ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } }$=10,
∴GF+EF的最小值为$\frac{1}{2}$×10=5.

答案：
10.(1)如图,连接BD,AC交于点O.
∵AB//CD,AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点，
∴GF//BD,HG//AC.
∵四边形EFGH是矩形，
∴HG⊥GF,
∴BD⊥AC,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)
∵四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是各边的中点，
∴GF=EH=$\frac{1}{2}$BD,HG=EF=$\frac{1}{2}$AC.
∵矩形EFGH的周长为22,
∴BD+AC=22.
∵四边形ABCD是菱形，
∴$\frac{1}{2}$BD+$\frac{1}{2}$AC=OB+OA=11.
∵四边形ABCD的面积为10,
∴$\frac{1}{2}$BD·AC=10,即2OA·OB=10.
∵(OA+OB)²=OA²+2OA·OB+OB²=121,
∴OA²+OB²=121−10=111,
∴AB=$\sqrt { O A ^ { 2 } + O B ^ { 2 } } = \sqrt { 111 }$.

答案：
11.如图①,连接BD,取BD的中点H,连接HE,FH.
∵E,H分别是AD,BD的中点，
∴EH//AB,EH=$\frac{1}{2}$AB,
∴∠BME=∠HEF.
∵F,H分别是BC,BD的中点，
∴FH//CD,FH=$\frac{1}{2}$CD,
∴∠CNE=∠HFE.
∵AB=CD,
∴HE=FH,
∴∠HEF=∠HFE,
∴∠BME=∠CNE.
问题一：△OMN为等腰三角形. 解析：如图②,取AC的中点P,连接PF,PE,则PE=$\frac{1}{2}$AB,PE//AB,
∴∠PEF=∠ANF.同理,PF=$\frac{1}{2}$CD,PF//CD,
∴∠PFE=∠CME.又
∵AB=CD,
∴PE=PF,
∴∠PFE=∠PEF,
∴∠OMN=∠ONM,
∴△OMN为等腰三角形.
问题二：△AGD是直角三角形. 证明：如图③,连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE.
∵F是AD的中点，
∴HF//AB,HF=$\frac{1}{2}$AB.同理,HE//CD,HE=$\frac{1}{2}$CD.
∵AB=CD,
∴HF=HE.
∵∠EFC=60°,
∴∠HEF=60°,
∴∠HEF=∠HFE=60°,
∴△EHF是等边三角形,
∴∠AGF=∠HFE=∠EFC=∠AFG=60°,
∴△AGF是等边三角形.
∵AF=FD,
∴GF=FD,
∴∠FGD=∠FDG=30°,
∴∠AGD=90°,即△AGD是直角三角形.
问题三：如图④,连接BD,取BD的中点H,连接EH,HF.
∵E,F分别是AD,BC的中点,
∴EH//AB,EH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$,HF//CD,HF=$\frac{1}{2}$CD=6,
∴∠HEF=∠BMF,∠HFE=∠CNF.又
∵EF=$\frac{13}{2}$,
∴EF²=$\frac{169}{4}$.
∵EH²=$\frac{25}{4}$,HF²=36,EH²+HF²=$\frac{169}{4}$,
∴EF²=EH²+HF²,
∴△EHF是直角三角形,
∴∠EHF=90°,
∴∠HEF+∠HFE=90°,
∴∠BMF+∠CNF=90°.