1. (2025·日照期中)如图，菱形 $ABCD$ 的周长为 $40$，面积为 $80$，$P$ 是对角线 $BD$ 上一点，分别作 $P$ 点到直线 $AB$，$AD$ 的垂线段 $PE$，$PF$，则 $PE + PF$ 等于
8
。
答案：1. 8 解析:连接AP,
∵菱形ABCD的周长为40,面积为80,
∴AB=AD=10,S_{△ABD}=40.
∵PF⊥AD,PE⊥AB,
∴$\frac{1}{2}$×AB×PE+$\frac{1}{2}$×AD×PF=40,
∴$\frac{1}{2}$×10×(PE+PF)=40,
∴PE+PF=8.
2. (2025·连云港期中)如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AD = 6$，$AB = 4$，点 $E$，$G$，$H$，$F$ 分别在边 $AB$，$BC$，$CD$，$AD$ 上，且 $AF = CG = 2$，$BE = DH = 1$，点 $P$ 是直线 $EF$，$GH$ 之间任意一点，连接 $PE$，$PF$，$PG$，$PH$，则图中阴影面积($△ PEF$ 和 $△ PGH$ 的面积和)等于(
A
)
A.$7$
B.$8$
C.$12$
D.$14$
答案：2. A 解析:连接EG,FH.
∵在矩形ABCD中,AD=6,AB=4,AF=CG=2,BE=DH=1,
∴AE=AB−BE=4−1=3,CH=CD−DH=4−1=3,
∴AE=CH.在△AEF与△CHG中,$\{\begin{array}{l} AE=CH,\\ ∠A=∠C=90^{\circ },\\ AF=CG,\end{array} $
∴△AEF≌△CHG(SAS),
∴EF=GH.同理可得,△BGE≌△DFH,
∴EG=FH,
∴四边形EGHF是平行四边形.
∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离,
∴△PEF和△PGH的面积和=$\frac{1}{2}$×平行四边形EGHF的面积.平行四边形EGHF的面积=4×6−$\frac{1}{2}$×2×3−$\frac{1}{2}$×1×(6−2)−$\frac{1}{2}$×2×3−$\frac{1}{2}$×1×(6−2)=24−3−2−3−2=14,
∴△PEF和△PGH的面积和=$\frac{1}{2}$×14=7.故选A.
3. 正方形 $ABCD$、正方形 $BEFG$ 和正方形 $RKPF$ 的位置如图所示，点 $G$ 在线段 $DK$ 上，正方形 $BEFG$ 的边长为 $4$，则 $△ DEK$ 的面积为
16
。
答案：3. 16 解析:如图,连接DB,GE,FK,则DB//GE//FK.可得$S_{△DGE}=S_{△GEB}($同底等高的两三角形面积相等).同理$,S_{△GKE}=S_{△GFE},$
∴$S_{△DEK}=S_{△DGE}+S_{△GKE}=S_{△GEB}+S_{△GEF}=S_{正方形BEFG}=4×4=16.$
4. 如图，矩形 $ABCD$ 中，$∠ DAB = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90^{\circ}$，$AD = BC = 16$，$AB = CD = 34$。点 $E$ 为射线 $DC$ 上的一个动点，$△ ADE$ 与 $△ AD'E$ 关于直线 $AE$ 对称，当 $△ AD'B$ 为直角三角形时，$DE$ 的长为
4或64
。
答案：4. 4或64 解析:如图①,
∵△ADE与△AD'E关于直线AE对称,
∴△AD'E≌△ADE,
∴∠AD'E=∠D=90°.
∵∠AD'B=90°,
∴B,D',E三点共线.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB//CD,AD=BC,∠C=90°,
∴∠CEB=∠D'BA,AD'=BC,
∴△ABD'≌△BEC(AAS),
∴BE=AB=34.
∵BD'=$\sqrt{AB^{2}-AD'^{2}}$=$\sqrt{34^{2}-16^{2}}$=30,
∴DE=D'E=34−30=4.
如图②,
∵∠ABD''+∠CBE=∠ABD''+∠BAD''=90°,
∴∠CBE=∠BAD''.在△ABD''和△BEC中,$\{\begin{array}{l} ∠D''=∠BCE,\\ AD''=BC,\\ ∠BAD''=∠EBC,\end{array} $
∴△ABD''≌△BEC(ASA),
∴BE=AB=34.在Rt△AD''B中,AD''=AD=16,BD''=$\sqrt{AB^{2}-AD''^{2}}$=30,
∴DE=DC+CE=AB+BD''=BE+BD''=D''E=34+30=64.综上所述,DE的长为4或64.
5. (2024·牡丹江中考)在 $Rt△ ACB$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$BC = 12$，$AC = 8$，以 $BC$ 为边向 $△ ACB$ 外作有一个内角为 $60^{\circ}$ 的菱形 $BCDE$，对角线 $BD$，$CE$ 交于点 $O$，连接 $OA$，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出 $△ AOC$ 的面积。
答案：5. 如图①②.△AOC的面积为12或36.
解析:当∠CBE=60°时,所作图形如图①,作OF⊥BC,垂足为F.
∵∠ACB=90°,
∴AC//OF,
∴CF为AC,OF两平行线之间的距离.
∵四边形BCDE是菱形,∠CBE=60°,
∴∠COB=90°,∠CBO=30°,
∴∠OCB=60°.
∵BC=12,
∴OC=$\frac{1}{2}$BC=6.
∵∠OCB=60°,
∴∠COF=30°,
∴CF=$\frac{1}{2}$OC=3,
∴△AOC的面积为$\frac{1}{2}$×8×3=12.当∠BCD=60°时,所作图形如图②,作OF'⊥BC,垂足为F'.
∵∠ACB=90°,
∴AC//OF',
∴CF'为AC,OF'两平行线之间的距离.
∵四边形BCDE是菱形,∠BCD=60°,
∴∠COB=90°,∠BCO=30°,
∴∠COF'=60°,
∴∠BOF'=30°.
∵BC=12,
∴OB=$\frac{1}{2}$BC=6,
∴BF'=$\frac{1}{2}$OB=3,
∴CF'=CB−BF'=9,
∴△AOC的面积为$\frac{1}{2}$×8×9=36.综上所述,△AOC的面积为12或36.
6. (2025·温州校级月考)如图，菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，在 $BD$ 上取一点 $E$，使得 $AE = BE$，$AB = 10$，$AC = 12$，则 $BE$ 长为(
A
)
A.$\frac{25}{4}$
B.$\frac{25}{2}$
C.$\frac{25}{3}$
D.$\frac{21}{4}$
答案：6. A 解析:
∵菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB=10,AC=12,
∴AO⊥BO,AO=OC=$\frac{1}{2}$AC=6,
∴OB=$\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}$=8.设AE=BE=x,则OE=OB−BE=8−x,
∴x²=(8−x)²+6²,解得x=$\frac{25}{4}$,故选A.
7. (2025·苏州校级月考)如图，在正方形 $OABC$ 中，点 $B$ 的坐标是 $(3, 3)$，点 $E$，$F$ 分别在边 $BC$，$BA$ 上，$CE = 1$，若 $∠ EOF = 45^{\circ}$，则点 $F$ 的纵坐标是
$\frac{3}{2}$
。
答案：7. $\frac{3}{2}$ 解析:如图,延长BE到G,使CG=AF,连接OG,EF.
∵四边形OABC为正方形,且点B坐标为(3,3),
∴OA=OC=3,∠A=∠OCG=90°.在△OAF与△OCG中,$\{\begin{array}{l} OA=OC,\\ ∠OAF=∠OCG,\\ AF=CG,\end{array} $
∴△OAF≌△OCG(SAS),
∴∠AOF=∠COG,OF=OG,
∴∠EOG=∠EOC+∠COG=∠EOC+∠AOF=90°−45°=45°.在△OFE与△OGE中,$\{\begin{array}{l} OF=OG,\\ ∠EOF=∠GOE,\\ OE=OE,\end{array} $
∴△OFE≌△OGE(SAS),
∴EF=GE=CG+CE=AF+CE.设AF=x,则EF=1+x,BF=3−x.在Rt△EBF中,根据勾股定理,得BE²+BF²=EF²,
∴2²+(3−x)²=(1+x)²,
∴x=$\frac{3}{2}$,
∴AF=$\frac{3}{2}$,
∴点F的纵坐标是$\frac{3}{2}$.
