1. (2025·济南期末)如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 3$,$BC = 4$,点 $E,F$ 分别是边 $AB,CD$ 上的动点,且 $AE = CF$,则 $BF + CE$ 的最小值为 (
D
)
A.$10$
B.$8$
C.$\sqrt{51}$
D.$\sqrt{73}$
答案：1. D 解析:如图,连接DE,
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AB = CD.
∵ AE = CF,
∴ BE = DF,
∴ 四边形BEDF是平行四边形,
∴ DE = BF,要求BF + CE的最小值,即求DE + CE的最小值.作D点关于AB的对称点D',连接D'C交AB于E,则DE + CE = D'E + CE = CD'的值最小.
∵ AB = 3,BC = 4,
∴ CD = AB = 3,DD' = 2AD = 8,
∴ CD' = $\sqrt{DD'^{2}+CD^{2}}=\sqrt{8^{2}+3^{2}}=\sqrt{73}$,即BF + CE的最小值为 $\sqrt{73}$,故选D.
2. (2024·临夏中考)如图①,矩形 $ABCD$ 中,$BD$ 为其对角线,一动点 $P$ 从 $D$ 出发,沿着 $D→B→C$ 的路径行进,过点 $P$ 作 $PQ⊥CD$,垂足为 $Q$.设点 $P$ 的运动路程为 $x$,$PQ - DQ$ 为 $y$,$y$ 与 $x$ 的函数图象如图②,则 $AD$ 的长为
$\frac{8}{3}$
.
答案：2. $\frac{8}{3}$ 解析:由图象得CD = 2.当BD + BP = 4时,PQ = CD = 2,此时点P在BC边上,设此时BP = a,则BD = 4 - a,AD = BC = 2 + a.在Rt△BCD中,$BD^{2}-BC^{2}=CD^{2}$,即 $(4 - a)^{2}-(a + 2)^{2}=2^{2}$,解得 $a=\frac{2}{3}$,
∴ $AD = a + 2=\frac{8}{3}$.
3. (2025·沈阳校级月考)如图,在菱形 $ABCD$ 中,$∠A = 60^{\circ}$,$AB = 4$,点 $E,F$ 分别为 $AD,DC$ 上的动点,$∠EBF = 60^{\circ}$,点 $E$ 从点 $A$ 向点 $D$ 运动过程中,$AE + CF$ 的长度 (
D
)
A.逐渐增加
B.先减小再增加
C.恒等于 $6$
D.恒等于 $4$
答案：3. D 解析:连接BD,
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB = BC = CD = AD = 4,∠C = ∠A = 60°,
∴ △ABD,△CDB是等边三角形,
∴ ∠CBD = ∠ADB = 60°,BC = BD.
∵ ∠EBF = 60°,
∴ ∠EBD + ∠DBF = ∠CBF + ∠DBF = 60°,
∴ ∠CBF = ∠EBD.在△CBF和△DBE中,$\begin{cases}∠ C=∠ EDB,\\BC=BD,\\∠ CBF=∠ EBD,\end{cases}$
∴ △CBF ≌ △DBE(ASA),
∴ CF = DE,
∴ AE + CF = AE + DE = AD,
∴ AE + CF = 4.故选D.
4. (2025·连云港中考)如图,在菱形 $ABCD$ 中,$AC = 4$,$BD = 2$,$E$ 为线段 $AC$ 上的动点,四边形 $DAEF$ 为平行四边形,则 $BE + BF$ 的最小值为
$\sqrt{13}$
.
答案：4. $\sqrt{13}$ 解析:
∵ 四边形DAEF为平行四边形,
∴ EF = AD,DF = AE.
∵ E为线段AC上的动点,
∴ 可以看作EF是定线段,线段EF在AC方向上水平运动,如图,过点B作AC的平行线MN,作点E关于线段MN的对称点E',由对称性得BE = BE',
∴ BE + BF = BE' + BF ≥ E'F,当且仅当E',B,F三点共线时,BE' + BF取得最小值E'F.设AC与BD交于点O,EE'交MN于点H,延长E'E交FD的延长线于点G.
∵ 在菱形ABCD中,AC = 4,BD = 2,
∴ $AO=\frac{1}{2}AC = 2$,$BO = DO=\frac{1}{2}BD = 1$,AC ⊥ BD.由题可得AC // MN,
∴ 由对称性可得EH ⊥ HB,
∴ AC ⊥ GH,
∴ ∠OEH = ∠EOB = ∠EHB = 90°,
∴ 四边形EOBH是矩形,
∴ E'H = EH = OB = 1.
∵ 四边形DAEF为平行四边形,
∴ DF = AE,DF // AC,
∴ GD ⊥ DO,
∴ ∠GDO = ∠DOE = ∠GEO = 90°,
∴ 四边形DOEG是矩形,
∴ GD = EO,GE = DO = 1,
∴ GF = GD + DF = EO + AE = AO = 2,GE' = GE + EH + E'H = 3,
∴ $E'F=\sqrt{GF^{2}+GE'^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$,即BE + BF的最小值为 $\sqrt{13}$.
5. (2025·百色期末)如图,已知四边形 $ABCD$ 是边长为 $8$ cm 的正方形,$P,Q$ 是正方形边上的两个动点,点 $P$ 从点 $A$ 出发,以 $2$ cm/s 的速度沿 $A→B→C$ 方向运动,点 $Q$ 同时从点 $D$ 出发,以 $1$ cm/s 的速度沿 $D→C$ 方向运动.设点 $P$ 运动的时间为 $t(0 ＜ t ＜ 8)$ s.当点 $P$ 在 $BC$ 边上,$AP,BQ$ 相交于点 $H$,当 $AP⊥BQ$ 时,$t$ 的值为 (
B
)
A.$\dfrac{10}{3}$
B.$\dfrac{16}{3}$
C.$6$
D.$7$
答案：5. B 解析:
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AB = BC,∠ABP = ∠BCQ = 90°.
∵ AP ⊥ BQ,
∴ ∠BAP + ∠ABH = ∠ABH + ∠CBQ = 90°,
∴ ∠BAP = ∠CBQ,
∴ △ABP ≌ △BCQ(ASA),
∴ BP = CQ.
∵ BP = 2t - AB = 2t - 8,CQ = 8 - t,
∴ 2t - 8 = 8 - t,解得 $t=\frac{16}{3}$,即t的值为 $\frac{16}{3}$.故选B.
6. (2025·广州校级月考)如图,在正方形 $ABCD$ 中,点 $M$ 是 $AB$ 上一动点,点 $E$ 是 $CM$ 的中点,$AE$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $EF$,连接 $DE$,$DF$.给出结论:
①$△ ADE$ 是等边三角形;
②$DE = EF$;
③$∠CDF = 45^{\circ}$;
④若正方形的边长为 $2$,则点 $M$ 在射线 $AB$ 上运动时,$CF$ 有最小值$\sqrt{2}$.
其中结论正确的是
②③④
. (填序号)
答案：6. ②③④ 解析:如图①,延长AE交DC的延长线于点H.
∵ 点E是CM的中点,
∴ ME = CE.
∵ 在正方形ABCD中,AB // CD,
∴ ∠MAE = ∠H,∠AME = ∠HCE,
∴ △AME ≌ △HCE(AAS),
∴ EH = AE.又
∵ ∠ADH = 90°,
∴ EH = AE = DE,
∴ △ADE是等腰三角形,故①错误;
∵ AE绕点E顺时针旋转90°得到EF,
∴ AE = EF,∠AEF = 90°,
∴ DE = EF,故②正确;
∵ AE = DE = EF,
∴ ∠DAE = ∠ADE,∠EDF = ∠EFD.
∵ ∠AEF + ∠DAE + ∠ADE + ∠EDF + ∠EFD = 360°,
∴ 2∠ADE + 2∠EDF = 270°,
∴ ∠ADF = 135°,
∴ ∠CDF = ∠ADF - ∠ADC = 135° - 90° = 45°,故③正确;如图②,连接FC,过点C作CF' ⊥ DF的延长线于点F',
∵ ∠CDF = 45°,
∴ 点F在DF上运动,
∴ 当CF ⊥ DF时,CF有最小值,为CF'的长度.
∵ CD = 2,∠CDF = 45°,结合勾股定理可得,CF' = $\sqrt{2}$,即CF有最小值 $\sqrt{2}$,故④正确.故答案为②③④.
