答案：
1.(1)AE=DF　解析:在正方形ABCD中,∠BAD=∠DAO+∠BAE=90°.
∵AE⊥DF,
∴∠DAO+∠ADF=90°,
∴∠BAE=∠ADF.在△ABE和△DAF中,
$\begin{cases}∠ BAE = ∠ ADF\\AB = DA\\∠ ABE = ∠ DAF\end{cases}$
∴△ABE≌△DAF(ASA),
∴AE=DF.
(2)如图①,过点E作EM⊥BC于点M,则四边形ABME为矩形,则AB=EM.在正方形ABCD中,AB=BC，
∴EM=BC;
∵EM⊥BC,
∴∠MEF+∠EFM=90°.
∵BG⊥EF,
∴∠CBG+∠EFM=90°,
∴∠CBG=∠MEF.在△BCG和△EMF中,
$\begin{cases}∠ CBG = ∠ MEF\\BC = EM\\∠ C = ∠ EMF\end{cases}$
∴△BCG≌△EMF(ASA),
∴EF=BG.
　　　
(3)如图②,连接MN.
∵M,N关于EF对称,
∴MN⊥EF.过点E作EH⊥BC于点H,过点M作MG⊥CD于点G,则EH⊥MG.由(2)同理可得△EHF≌△MGN,
∴NG=HF.
∵AE=2,BF=4,
∴NG=HF=4−2=2.又
∵GC=MB=1,
∴CN=NG+CG=2+1=3.

答案：
2.$\frac{16}{9}$　解析:如图,连接AF,AG,设AD交HG于点M,AB交FG于点N,
∵四边形EFGH,四边形ABCD都是正方形，点O为正方形EFGH的对称中心，
∴AF=AG,∠AFG=∠AGF=∠AGM=45°,∠DAB=90°,S△AFG=$\frac{1}{4}$S₂,
∴∠FAG=90°=∠DAB,
∴∠FAN=∠MAG=90°−∠NAG,
∴△AGM≌△AFN,
∴S△AGM=S△AFN,
∴S₃=S△ANG+S△AGM=S△ANG+S△AFN=S△AFG=$\frac{1}{4}$S₂,
∴S₂=4S₃.同理:S₄=$\frac{1}{4}$S₁.
∵$\frac{S₁}{S₃}$=9,
∴S₁=9S₃,
∴S₄=$\frac{1}{4}$S₁=$\frac{9}{4}$S₃,
∴$\frac{S₂}{S₄}$=$\frac{4S₃}{\frac{9}{4}S₃}$=$\frac{16}{9}$.

答案：
3.(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,
∴∠OAM=∠OBN=135°.
∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,
∴∠AOM=∠BON,
∴△OAM≌△OBN(ASA),
∴OM=ON,
∴△OMN是等腰直角三角形.
(2) $\sqrt{10}$　解析:如图,过点O作OH⊥AD于点H,OG⊥AB于点G,
∵正方形的边长为2,
∴HA=OH=OG=1.
∵OE=EM,∠OGE=∠MEA=90°,∠OEG=∠MEA,
∴△OEG≌△MEA(AAS),
∴OG=MA=1,
∴HM=2,
∴OM=ON=$\sqrt{2² + 1²}$=$\sqrt{5}$,
∴MN=$\sqrt{5 + 5}$=$\sqrt{10}$.