1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是(
A
)
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角相等
答案：1. A 解析:矩形对角线相等，而菱形的对角线不一定相等.故选 A.
归纳总结 矩形与菱形的性质
相比于普通的平行四边形，矩形新增的性质有:
①矩形的四个角都是直角;
②矩形的对角线相等;
③矩形为轴对称图形.
相比于普通的平行四边形，菱形新增的性质有:
①菱形的四条边都相等;
②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;
③菱形为轴对称图形.
2. (湖南中考)如图，菱形 $ABCD$ 中，连接 $AC$，$BD$，若 $∠ 1 = 20^{\circ}$，则 $∠ 2$ 的度数为(
C
)
A.$20^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$
答案：2. C 解析:
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB//CD，AC⊥BD，
∴ ∠DCA=∠1=20°，
∴ ∠2=90°−∠DCA=70°.故选 C.
3. (2025·重庆期末)如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，菱形 $ABCD$ 的周长为 $20$，$AC = 8$，$DE ⊥ BC$ 于 $E$，连接 $OE$，则线段 $OE$ 的长度为(
B
)
A.$2$
B.$3$
C.$5$
D.$6$
答案：3. B 解析:
∵ 四边形 ABCD 为菱形，且周长为 20，AC=8，
∴ AC⊥BD，AO=OC=4，AD=5，OD=OB，
∴ OD=√(AD²−AO²)=3.
∵ DE⊥BC，OD=OB，
∴ OE=1/2BD=OD=3.故选 B.
4. (2025·福建中考改编)如图，菱形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，$EF$ 过点 $O$ 且与边 $AB$，$CD$ 分别相交于点 $E$，$F$。若 $AC = 4$，$BD = 2$，则 $△ AOE$ 与 $△ DOF$ 的面积之和为
1
。
答案：4. 1 解析:
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ DO=BO=1，CD//AB，
∴ ∠ODF=∠OBE，∠OFD=∠OEB，
∴ △DOF≌△BOE (AAS)，
∴ △DOF 的面积=△BOE 的面积，
∴ △AOE 与△DOF 的面积之和=△BOA 的面积=1/2×2×1=1.
5. (2024·辽宁中考改编)如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，菱形 $AOBC$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴负半轴上，顶点 $B$ 在直线 $y = \dfrac{3}{4}x$ 上，若点 $B$ 的横坐标是 $8$，则点 $C$ 的坐标为
(-2,6)
。
答案：5. (-2,6) 解析:
∵ 顶点 B 在直线 y=3/4x 上，点 B 的横坐标是 8，将 x=8 代入 y=3/4x，可得 y=6，
∴ 点 B 的坐标为(8,6)，则 OB=√(8²+6²)=10，
∴ BC=OB=10.设 BC 与 y 轴交于点 D，则点 D 的坐标为(0,6)，
∴ BD=√(10²−6²)=8，
∴ DC=2，
∴ 点 C 的坐标为(-2,6).
6. （嘉兴中考）如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AE ⊥ BC$ 于点 $E$，$AF ⊥ CD$ 于点 $F$，连接 $EF$。
（1）求证：$AE = AF$；
（2）若 $∠ B = 60^{\circ}$，求 $∠ AEF$ 的度数。
答案：6. (1)
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ AB=AD，∠B=∠D.又
∵ AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠AEB=∠AFD=90°.在△AEB 和△AFD 中，{∠AEB=∠AFD，∠B=∠D，AB=AD}，
∴ △AEB≌△AFD(AAS)，
∴ AE=AF.
(2)
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ ∠B+∠BAD=180°.
∵ ∠B=60°，
∴ ∠BAD=120°.又
∵ ∠AEB=90°，∠B=60°，
∴ ∠BAE=30°.由(1)知△AEB≌△AFD，
∴ ∠BAE=∠DAF=30°，
∴ ∠EAF=120°−30°−30°=60°.
∵ AE=AF，
∴ △AEF 是等边三角形，
∴ ∠AEF=60°.
7. (2025·济南期末)如图，在边长为 $2$ 的菱形 $ABCD$ 中，分别以点 $A$，$B$ 为圆心，以大于 $\dfrac{1}{2}AB$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$，$N$，作直线 $MN$，交 $AD$ 于点 $E$，连接 $CE$，若 $∠ B = 135^{\circ}$，则 $CE$ 的长为(
A
)
A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{6} - 1$
C.$\sqrt{2} + 1$
D.$\sqrt{10}$
答案：7. A 解析:连接 BE，由作图痕迹可知，MN 垂直平分 AB，
∴ AE=BE.
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ AD//BC.
∵ ∠ABC=135°，
∴ ∠A=45°，
∴ ∠EBA=∠A=45°，
∴ ∠AEB=∠EBC=90°.
∵ AB=2，
∴ BE=AE=√2，
∴ CE=√(2²+(√2)²)=√6.故选 A.
8. (2025·重庆期末)如图，四边形 $ABCD$ 为菱形，点 $E$ 为线段 $CD$ 上一点，若将 $△ ADE$ 沿 $AE$ 所在直线翻折，使得点 $D$ 的对应点 $D'$ 恰好落到 $BC$ 的延长线上，若 $∠ DAE = α$，则 $∠ CED'$ 可以表示为(
C
)
A.$60^{\circ} + \dfrac{1}{2}α$
B.$45^{\circ} + α$
C.$180^{\circ} - 6α$
D.$3α$
答案：8. C 解析:由折叠可得∠AED'=∠AED=180°−∠D−∠DAE，AD'=AD.又
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AD//BC，∠B=∠D，AB=AD，
∴ ∠AD'B=∠DAD'=2∠DAE，AD'=AB，
∴ ∠AD'B=∠B=∠D=∠DAD'=2α.
∵ ∠AEC=∠D+∠DAE，
∴ ∠CED'=∠AED'−∠AEC=180°−∠D−∠DAE−∠D−∠DAE=180°−2∠D−2∠DAE=180°−6α，故选 C.
