8. 如图，$l_1 // l_2$，$BE // CF$，$BA ⊥ l_1$，$DC ⊥ l_2$，下面给出四个结论：① $BE = CF$；② $AB = DC$；③ $S_{△ ABE} = S_{△ DCF}$；④四边形 $ABCD$ 是矩形。其中说法正确的有(
D
)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案：8. D 解析：
∵ $ l _ { 1 } // l _ { 2 } $，$ BE // CF $，
∴ 四边形 $ BCFE $ 是平行四边形，
∴ $ BE = CF $，故 ① 正确；
∵ $ l _ { 1 } // l _ { 2 } $，$ BA ⊥ l _ { 1 } $，$ DC ⊥ l _ { 2 } $，
∴ $ AB = DC $，故 ② 正确；
∵ $ BE // CF $，
∴ $ ∠AEB = ∠DFC $. 在 $ △ABE $ 和 $ △DCF $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { ∠AEB = ∠DFC, } \\ { ∠BAE = ∠CDF, } \\ { AB = DC, } \end{array} $
∴ $ △ABE ≌ △DCF ( AAS ) $，
∴ $ S _ { △ABE } = S _ { △DCF } $，故 ③ 正确；
∵ $ l _ { 1 } // l _ { 2 } $，$ BA ⊥ l _ { 1 } $，$ DC ⊥ l _ { 2 } $，
∴ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，故 ④ 正确.故选 D.
9. (2025·泰州月考)如图，$P$ 是矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上一点，过点 $P$ 作 $EF // BC$，分别交 $AB$，$CD$ 于点 $E$，$F$，连接 $PB$，$PD$。若 $AE = 2$，$PF = 8$，则图中阴影部分的面积为
16
。
]
答案：9. 16 解析：如图，作 $ PM ⊥ AD $ 于点 $ M $，$ PN ⊥ BC $ 于点 $ N $，则四边形 $ AEPM $、四边形 $ DFPM $、四边形 $ CFPN $、四边形 $ BEPN $ 都是矩形，
∴ $ S _ { △ADC } = S _ { △ABC } $，$ S _ { △AMP } = S _ { △AEP } $，$ S _ { △PBE } = S _ { △PBN } $，$ S _ { △PFD } = S _ { △PDM } $，$ S _ { △PFC } = S _ { △PCN } $，
∴ $ S _ { △DFP } = S _ { △PBE } = \frac { 1 } { 2 } × 2 × 8 = 8 $，
∴ $ S _ { 阴影 } = 8 + 8 = 16 $.
10. (2025·绵阳期中)如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = 6$，$AC = 8$，$BC = 10$，$P$ 为边 $BC$ 上一动点(且点 $P$ 不与点 $B$，$C$ 重合)，$PE ⊥ AB$ 于点 $E$，$PF ⊥ AC$ 于点 $F$，$M$ 为 $EF$ 的中点。设 $AM$ 的长为 $x$，则 $x$ 的取值范围是
$2.4 ≤ x ＜ 4$
。
]
答案：10. $ 2.4 ≤ x ＜ 4 $ 解析：连接 $ AP $.
∵ $ AB = 6 $，$ AC = 8 $，$ BC = 10 $，
∴ $ AB ^ { 2 } + AC ^ { 2 } = 36 + 64 = 100 $.
∵ $ BC ^ { 2 } = 100 $，
∴ $ AB ^ { 2 } + AC ^ { 2 } = BC ^ { 2 } $，
∴ $ ∠BAC = 90° $.
∵ $ PE ⊥ AB $，$ PF ⊥ AC $，
∴ $ ∠AEP = ∠AFP = ∠BAC = 90° $，
∴ 四边形 $ AEPF $ 是矩形，
∴ $ AP = EF $.
∵ $ ∠BAC = 90° $，$ M $ 为 $ EF $ 的中点，
∴ $ AM = \frac { 1 } { 2 } EF = \frac { 1 } { 2 } AP $.
当 $ AP ⊥ BC $ 时，$ AP $ 的值最小.
∵ $ S _ { △BAC } = \frac { 1 } { 2 } × 6 × 8 = \frac { 1 } { 2 } × 10 × AP $，解得 $ AP = 4.8 $，
∴ $ AP ≥ 4.8 $，
∴ $ 2 AM ≥ 4.8 $，
∴ $ AM ≥ 2.4 $（即 $ x ≥ 2.4 $）. 当 $ P $ 和 $ C $ 重合时，$ AM = 4 $.
∵ 点 $ P $ 和点 $ B $，$ C $ 不重合，
∴ $ AP ＜ 8 $，
∴ $ x ＜ 4 $，
∴ $ x $ 的取值范围是 $ 2.4 ≤ x ＜ 4 $.
11. (大庆中考)如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，$BC = 4$，$M$，$N$ 在对角线 $AC$ 上，且 $AM = CN$，$E$，$F$ 分别是 $AD$，$BC$ 的中点。
(1) 求证：$△ ABM ≌ △ CDN$；
(2) 点 $G$ 是对角线 $AC$ 上的点，$∠ EGF = 90^{\circ}$，求 $AG$ 的长。
]
答案：11. (1)
∵ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，
∴ $ AB // CD $，
∴ $ ∠MAB = ∠NCD $.
在 $ △ABM $ 和 $ △CDN $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { AB = CD, } \\ { ∠MAB = ∠NCD, } \\ { AM = CN, } \end{array} $
∴ $ △ABM ≌ △CDN ( SAS ) $.
(2) 连接 $ EF $，交 $ AC $ 于点 $ O $.
∵ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，
∴ $ AD = BC $，$ ∠ABC = 90° $，
∴ $ AC = \sqrt { AB ^ { 2 } + BC ^ { 2 } } = 5 $.
∵ $ E $，$ F $ 分别是 $ AD $，$ BC $ 的中点，
∴ $ AE = BF = ED = FC $，
∴ 四边形 $ ABFE $ 是矩形，
∴ $ EF = AB = 3 $. 在 $ △AEO $ 和 $ △CFO $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { ∠EOA = ∠FOC, } \\ { ∠EAO = ∠FCO, } \\ { AE = CF, } \end{array} $
∴ $ △AEO ≌ △CFO ( AAS ) $，
∴ $ EO = FO $，$ AO = CO = \frac { 5 } { 2 } $，
∴ $ O $ 为 $ EF $，$ AC $ 的中点.
∵ $ ∠EGF = 90° $，
∴ $ OG = \frac { 1 } { 2 } EF = \frac { 3 } { 2 } $，
∴ $ AG = OA - OG = 1 $ 或 $ AG = OA + OG = 4 $，
∴ $ AG $ 的长为 1 或 4.
12. 已知平面上四点 $A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(4,2)$，$D(0,2)$，直线 $y = mx - m + 2$ 将四边形 $ABCD$ 分成面积相等的两部分，则 $m$ 的值为
-1
。
答案：12. -1 解析：
∵ 点 $ A ( 0,0 ) $，$ B ( 4,0 ) $，$ C ( 4,2 ) $，$ D ( 0,2 ) $，
∴ 四边形 $ ABCD $ 为矩形.
∵ 直线 $ y = m x - m + 2 $ 将四边形 $ ABCD $ 分成面积相等的两部分，
∴ 直线 $ y = m x - m + 2 $ 过矩形 $ ABCD $ 的对角线的交点. 而矩形 $ ABCD $ 的对角线的交点坐标为 $ ( 2,1 ) $，
∴ $ 2 m - m + 2 = 1 $，
∴ $ m = - 1 $.
13. (2025·淮安模拟)【问题发现】(1)如图①，矩形 $ABCD$ 中，$AB = 9$，$BC = 12$，点 $P$ 是矩形 $ABCD$ 内一点，过点 $P$ 作 $EF ⊥ AD$，分别交 $AD$，$BC$ 于点 $E$，$F$，$PE = 4$，$AE = 3$。则：
① $PC =$
$\sqrt { 106 }$
；
② $PA^2 + PC^2$ 与 $PB^2 + PD^2$ 的关系是
$PA ^ { 2 } + PC ^ { 2 } = PB ^ { 2 } + PD ^ { 2 }$
。
【类比探究】(2)如图②，点 $P$ 是矩形 $ABCD$ 外一点，过点 $P$ 作 $EF ⊥ AD$，分别交 $AD$，$BC$ 反向延长线于点 $E$，$F$，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由。
【拓展延伸】(3)如图③，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，$P$ 是 $Rt△ ABC$ 外一点，$PA = 2$，$PB = 5$，$PC = 3$，则 $BC$ 的最小值为
$\sqrt { 30 } - 2$
。
]
答案：13. (1) ① $ \sqrt { 106 } $ 解析：
∵ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，$ AB = 9 $，$ BC = 12 $，
∴ $ AD = BC = 12 $，$ ∠BAD = ∠ABC = ∠ADC = ∠BCD = 90° $.
∵ 过点 $ P $ 作 $ EF ⊥ AD $，分别交 $ AD $，$ BC $ 于点 $ E $，$ F $，
∴ $ ∠AEF = ∠DEF = 90° $，
∴ 四边形 $ ABFE $ 和四边形 $ DCFE $ 都是矩形，
∴ $ EF = AB = 9 $，$ BF = AE = 3 $，
∴ $ CF = DE = AD - AE = 12 - 3 = 9 $.
∵ $ PE = 4 $，
∴ $ PA = \sqrt { AE ^ { 2 } + PE ^ { 2 } } = \sqrt { 3 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } = 5 $，$ PD = \sqrt { DE ^ { 2 } + PE ^ { 2 } } = \sqrt { 9 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } = \sqrt { 97 } $.
∵ $ PF = EF - PE = 9 - 4 = 5 $，
∴ $ PB = \sqrt { BF ^ { 2 } + PF ^ { 2 } } = \sqrt { 3 ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } } = \sqrt { 34 } $，$ PC = \sqrt { CF ^ { 2 } + PF ^ { 2 } } = \sqrt { 9 ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } } = \sqrt { 106 } $.
② $ PA ^ { 2 } + PC ^ { 2 } = PB ^ { 2 } + PD ^ { 2 } $ 解析：$ PA ^ { 2 } + PC ^ { 2 } = 5 ^ { 2 } + ( \sqrt { 106 } ) ^ { 2 } = 131 $，$ PB ^ { 2 } + PD ^ { 2 } = ( \sqrt { 34 } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { 97 } ) ^ { 2 } = 131 $，
∴ $ PA ^ { 2 } + PC ^ { 2 } = PB ^ { 2 } + PD ^ { 2 } $.
(2) 成立，理由如下：
∵ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，
∴ $ ∠BAD = ∠ABC = ∠ADC = ∠BCD = 90° $，
∴ $ ∠EAB = ∠FBA = 90° $.
∵ 过点 $ P $ 作 $ EF ⊥ AD $，分别交 $ AD $，$ BC $ 反向延长线于点 $ E $，$ F $，
∴ $ ∠AEF = 90° $，
∴ 四边形 $ ABFE $ 和四边形 $ DCFE $ 都是矩形，
∴ $ AE = BF $，$ DE = CF $.
∵ $ PD ^ { 2 } = DE ^ { 2 } + PE ^ { 2 } = CF ^ { 2 } + PE ^ { 2 } $，$ PA ^ { 2 } = AE ^ { 2 } + PE ^ { 2 } = BF ^ { 2 } + PE ^ { 2 } $，
∴ $ PD ^ { 2 } - PA ^ { 2 } = CF ^ { 2 } - BF ^ { 2 } $.
∵ $ PC ^ { 2 } = CF ^ { 2 } + PF ^ { 2 } $，$ PB ^ { 2 } = BF ^ { 2 } + PF ^ { 2 } $，
∴ $ PC ^ { 2 } - PB ^ { 2 } = CF ^ { 2 } - BF ^ { 2 } $，
∴ $ PC ^ { 2 } - PB ^ { 2 } = PD ^ { 2 } - PA ^ { 2 } $，
∴ $ PA ^ { 2 } + PC ^ { 2 } = PB ^ { 2 } + PD ^ { 2 } $.
(3) $ \sqrt { 30 } - 2 $ 解析：如图，作 $ PM ⊥ CA $ 交 $ CA $ 的延长线于点 $ M $，则 $ ∠PMC = 90° $，
∴ $ PC ^ { 2 } = PM ^ { 2 } + CM ^ { 2 } $，$ PA ^ { 2 } = PM ^ { 2 } + AM ^ { 2 } $. 作 $ BN ⊥ PM $ 交 $ PM $ 的延长线于点 $ N $，作 $ CT ⊥ NB $ 交 $ NB $ 的延长线于点 $ T $，连接 $ AT $，$ PT $.
∵ $ ∠BAC = 90° $，
∴ $ ∠BAM = 90° $.
∵ $ ∠AMN = ∠N = ∠CTN = 90° $，
∴ 四边形 $ ABNM $ 和四边形 $ CTNM $ 都是矩形，
∴ $ TN = CM $，$ BN = AM $，
∴ $ PT ^ { 2 } = PN ^ { 2 } + TN ^ { 2 } = PN ^ { 2 } + CM ^ { 2 } $，$ PB ^ { 2 } = PN ^ { 2 } + BN ^ { 2 } = PN ^ { 2 } + AM ^ { 2 } $，$ PC ^ { 2 } = PM ^ { 2 } + CM ^ { 2 } $，$ PA ^ { 2 } = PM ^ { 2 } + AM ^ { 2 } $，
∴ $ PT ^ { 2 } - PC ^ { 2 } = PN ^ { 2 } - PM ^ { 2 } $，$ PB ^ { 2 } - PA ^ { 2 } = PN ^ { 2 } - PM ^ { 2 } $
