答案：
9. √7　解析:如图，过点 D 作 DH⊥AC 于 H.
∵ 在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，AB=3，
∴ AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，
∴ △ABC，△ACD 都是等边三角形，
∴ ∠EAF=60°，AC=AB=3，AH=CH=1/2AC=3/2.
∵ EF⊥AB，
∴ ∠AEF=30°，
∴ AE=2AF.又 CE=AF，
∴ AE=2CE，
∴ CE=1，
∴ HE=CH−CE=1/2.在 Rt△CDH 中，DH²=CD²−CH²=27/4，
∴ DE=√(DH²+HE²)=√7.

答案：
10. (1)5　解析:如图①，作点 M 关于 AC 的对称点 M'，连接 NM'，交 AC 于点 P，连接 MP，此时 PM+PN 的值最小.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD，∠M'AP=∠MAP，即 M'在 AD 上.
∵ AC⊥BD，
∴ BD//MM'.
∵ M 为 AB 的中点，
∴ M'为 AD 的中点.
∵ N 为 CB 的中点，四边形 ABCD 是菱形，
∴ AM'//BC，AM'=BN，
∴ 四边形 AM'NB 是平行四边形，
∴ NM'=AB.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ BP=1/2BD=3，AP=1/2AC=4.在 Rt△APB 中，由勾股定理得 AB=5，即 NM'=5.
∴ MP+NP=M'P+NP=M'N=5，即 PM+PN 的最小值是 5.

(2)24/5　解析:如图②，作点 M 关于 AC 的对称点 M'，过点 M'作 M'N⊥BC 于点 N，交 AC 于点 P，连接 PM，则此时 PM+PN 取得最小值，即 PM+PN=PM'+PN=M'N.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ 点 M'在 AD 上.
∵ AC=8，BD=6，
∴ AB=5.由$ S_{菱形ABCD}=1/2AC·BD=BC·M'N $得 1/2×8×6=5·M'N，解得 M'N=24/5，即 PM+PN 的最小值是 24/5.

答案：11. (1)
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ ND//AM，
∴ ∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME.
∵ E 是 AD 的中点，
∴ DE=AE.在△NDE 和△MAE 中，{∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，DE=AE}，
∴ △NDE≌△MAE (AAS)，
∴ ND=MA，
∴ 四边形 AMDN 是平行四边形.
(2)当 AM=1 时，四边形 AMDN 是矩形.理由:
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AD=AB=2.要使得平行四边形 AMDN 是矩形，则 DM⊥AB，即∠DMA=90°.
∵ ∠DAB=60°，
∴ ∠ADM=30°，
∴ AM=1/2AD=1.

答案：
12. 1:3　解析:
∵ 四边形 ABCD 是菱形，AC/BD=5/3，
∴ 设 AC=10a，BD=6a，
∴ OA=OC=1/2AC=5a，OB=OD=1/2BD=3a，如图所示，连接 A'D，OE，设直线 l 交 BC 于点 F，交 AD 于点 G.
∵ 线段 AB 与 A'B'关于过点 O 的直线 l 对称，点 B 的对应点 B'在线段 OC 上，
∴ ∠BOF=∠COF=1/2∠BOB'=45°，AO=A'O=5a，OB'=OB=3a，
∴ ∠AOG=∠DOG=45°，
∴ 点 A'，D，O 三点共线，
∴ A'D=A'O - OD=2a，B'C=OC - OB'=2a，
∴$ S_{△CEB'}/S_{△OB'E}=B'C/OB'=2a/3a=2/3$，A'D=B'C.
∵ CD//AB，
∴ ∠CDO=∠ABO，由对称可得∠A'B'O=∠ABO，
∴ ∠A'B'O=∠CDO，
∴ ∠A'DE=∠CB'E.又
∵ ∠A'ED=∠CEB'，
∴ △A'ED≌△CEB'(AAS)，
∴ DE=B'E.又
∵ OD=OB'，OE=OE，
∴ △ODE≌△OB'E(SSS)，
∴$ S_{△ODE}=S_{△OB'E}$，
∴$ S_{△CEB'}/S_{四边形OB'ED}=S_{△CEB'}/(S_{△OB'E}+S_{△ODE})=2/(3 + 3)=2/6=1/3$，
∴ 面积比为 1:3.

答案：
13. (1)DM⊥EM 解析:延长 EM 交 AD 于点 H，如图①，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AD=CD，AD//BC.
∵ 四边形 CEFG 是菱形，
∴ EF=CE，CG//EF；
∵ B，C，G 三点共线，
∴ AD//EF，
∴ ∠MAH=∠MFE.
∵ 点 M 是 AF 的中点，
∴ AM=FM.在△AMH 与△FME 中，{∠MAH=∠MFE，AM=FM，∠AMH=∠FME}，
∴ △AMH≌△FME(ASA)，
∴ AH=EF，MH=ME，
∴ AH=CE，
∴ AD - AH=CD - CE，即 DH=DE，
∴ DM⊥EM.

(2)仍然成立.如图②，延长 EM 交 DA 延长线于点 H，在菱形 ABCD 与菱形 CEFG 中，AD//BC，GC//EF，AD=DC，CE=EF，
∵ 点 G 在 BC 上，
∴ EF//CG//AD，
∴ ∠MAH=∠MFE，∠H=∠MEF.
∵ M 是 AF 的中点，
∴ AM=FM，
∴ △AMH≌△FME(AAS)，
∴ AH=EF，HM=EM.
∵ CE=EF，
∴ AH=CE.
∵ AD=CD，
∴ AD+AH=CD+CE，即 DH=DE.
∵ HM=EM，
∴ DM⊥EM.
(3)示意图如图③④所示. 2

解析:结合(1)(2)中的结论以及直角三角形斜边上中线的性质可得，当 CF 在 AC 延长线上时，如图③，则 DE 的中点 N₁到点 D，M，C，E 距离相等；当 CF 在线段 AC 上时，如图④，则 DE 的中点 N₂到点 D，M，C，E 距离相等.
∴ 到点 D，M，C，E 距离相等的点共有 2 个.